Théorie générale des fonctionnelles. I: Généralités sur les fonctionnelles, théorie des équations intégrales. Préface de V. Volterra. (Q2607834)

Im ersten Buch wird der Begriff des Funktionals im abstrakten Raum definiert und an Beispielen erläutert. Sodann werden die Eigenschaften des Raumes (Entfernung, Abgeschlossenheit, Vollständigkeit) untersucht. Das \textit{Lebesgue}sche Integral wird von Treppenfunktionen her entwickelt, und der Satz von der Konvergenz im Mittel wird bewiesen. Nun werden die verschiedenen analytischen Darstellungen der Funktionale gegeben sowie ihre Differentiale und Integrale untersucht. Jetzt wenden sich Verf. zu konkreten Anwendungen. Die \textit{Tonelli}sche Methode der Variationsrechnung wird an dem Beispiel \(\int\limits_a^b f(x,y,y')\,dx =\) Min unter der Voraussetzung \(f(x,y,y') \geqq \mu|y'|^{1+\alpha} + \nu\) (\(\mu > 0\), \(\nu > 0\), \(\alpha >0\) Konstante) auseinandergesetzt. Das zweite Buch handelt von Integralgleichungen. Der Zusammenhang mit dem ersten Buch ist dadurch gegeben, daß ein analytischer Ausdruck für das linare Funktional durch \(\int K(s,t)\varphi(t)\,dt\) dargestellt ist. Als Leitgedanke für die ganze Untersuchung gilt stets der Übergang vom Diskontinuierlichen zum Kontinuierlichen. In diesem Sinn werden die verschiedenen Methoden zur Behandlung der \textit{Volterra}schen Gleichung betrachtet. Für die Gleichung mit festen Integrationsgrenzen steht demgemäß die \textit{Fredholm}sche Theorie im Vordergrund. Die Entwicklungssätze sind zu den Untersuchungen des ersten Buches über Konvergenz im Mittel in Beziehung gebracht. Auch Unstetigkeiten des Kerns sowie unendliches Integrationsintervall sind berücksichtigt. Für nichtlineare Integralgleichungen wird in erster Linie die Methode von \textit{E. Schmidt} verwandt (IV 9.)