Uniformly convex spaces. (Q2607848)

Verf. nennt einen \textit{Banach}schen Raum gleichmäßig konvex, wenn es zu jedem positiven \(\varepsilon \leqq 2\) ein \(\delta\) von folgender Eigenschaft gibt: Ist die Länge einer Sehne der Einheitskugel \(\geqq \varepsilon\), so ist ihr Mittelpunkt von der Kugeloberfläche mindestens um \(\delta\) entfernt. Beispiele solcher Räume sind der \textit{Hilbert}sche Raum sowie die aus diesem durch Weglassung des Separabilitätsaxioms entstehenden Räume. Nachdem Verf. eine Bedingung angegeben hat, unter der das Produkt gleichmäßig konvexer Räume selbst gleichmäßig konvex ist, werden gewisse Ungleichungen bewiesen, aus denen für \(p > 1\) die gleichmäßige Konvexität auch der Räume \(L^p\) (Raum der Funktionen mit \(p\)-ter im Intervall \((0,1)\) summierbarer Potenz) und \(l^p\) (Raum der Zahlenfolgen, für die die Summe der \(p\)-ten Potenzen absolut konvergiert) folgt. Des weiteren wird für gleichmäßig konvexe Räume unter Einführung eines ``Winkels'' zwischen zwei Vektoren eine Verschärfung der Dreiecksungleichung bewiesen, aus der insbesondere folgt, daß jeder gleichmäßig konvexe Raum konvex in striktem Sinne ist, d. h. daß für zwei seiner Punkte \(x\), \(y\), die beide \(\neq 0\) sind, aus \(\|x+y\| = \|x\| + \|y\|\) folgt: \(x = cy \) mit \(c > 0\). Der vorletzte Paragraph beschäftigt sich mit Funktionen, deren Argumente in einem euklidischen Raum liegen und deren Werte Punkte eines gleichmäßig konvexen Raumes sind, und untersucht ihre Differenzierbarkeits- bzw. Integrierbarkeitseigenschaften. So wird z. B. gezeigt, daß solche Funktionen, wenn sie von beschränkter Variation sind, fast überall differenzierbar sind (vgl. auch das folgende Referat der Arbeit von \textit{Dunford} und \textit{Morse}); dabei ist zu beachten, daß der entsprechende Satz in beliebigen \textit{Banach}schen Räumen nicht gilt, wofür zuerst \textit{Bochner} (Fundam. Math., Warszawa, 21 (1933), 211-213; JFM 59.0271.*) ein Beispiel gegeben hat und wofür Verf. ein neues Beispiel gibt. Im letzten Paragraphen bemerkt Verf. (einer Anregung von \textit{J. v. Neumann} folgend) zunächst, daß die im vorangegangenen Paragraphen bewiesenen Sätze auch dann noch gültig sind, wenn der Raum zwar nicht selbst gleichmäßig konvex ist, aber durch Einführung einer neuen, der alten äquivalenten Norm zu einem gleichmäßig konvexen gemacht werden kann. Dagegen ist die Voraussetzung, daß der Raum in striktem Sinn konvex ist, nicht hinreichend zur Gültigkeit der genannten Sätze. Um dies zu zeigen, beweist Verf., daß jeder separable \textit{Banach}sche Raum durch Einführung einer neuen der ursprünglichen äquivalenten Norm zu einem in striktem Sinn konvexen gemacht werden kann. In entgegengesetzter Richtung beweist Verf. zum Schluß: Folgende Räume können durch Einführung einer neuen der ursprünglichen äquivalenten Norm nicht zu gleichmäßig konvexen Räumen gemacht werden: der Raum der in \((0,1)\) summierbaren Funktionen, der Raum der dort beschränkten Funktionen, der Raum der dort stetigen Funktionen, der Raum der beschränkten und der der konvergenten Folgen.