Über Räume \((L^M)\). (Q2607855)

Es sei \(M[u]\) eine in \(0\leqq u<\infty\) stetige, konvexe Funktion, die nur für \(u=0\) verschwindet und für die gilt \[ \lim_{u\to 0}\frac{M[u]}u=0, \quad \lim_{u\to\infty}\frac{M[u]}u=+\infty; \] \(M'[v]\) bezeichne die zu \(M[u]\) komplementäre Funktion. Dann bildet die Gesamtheit der Funktionen \(f(x)\), für die \(\int\limits_a^b M[k|f(x)|]\,dx\) existiert (\(k>0\) eine von \(f(x)\) abhängige Zahl), einen linearen Raum. Er wird normiert durch \[ \|f(x)\|_M=\operatornamewithlimits{Obere~Grenze}_g\bigl|\int\limits_1^b f(x)g(x)\,dx\bigr|, \] wo \(g(x)\) durch \(\int\limits_a^b M'[|g(x)|]\,dx\leqq 1\) eingeschränkt ist. Der so normierte Raum wird mit \((L^M)\) bezeichnet und eingehend untersucht; dabei werden zum Teil über \(M[u]\) noch weitere Voraussetzungen gemacht.