Sur les opérateurs différentiels oscillatoires. (Q2607927)

Verf. nennt den selbstadjungierten regulären Differentialoperator \[ L(y) = \frac{d^n}{dx^n}\left(l_0 \frac{d^ny}{dx^n}\right) + \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\left(l_1 \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\right) + \cdots + l_ny, \quad l_0^2(x) > 0 \tag{1} \] oszillatorisch, wenn eine seiner symmetrischen \textit{Green}schen Funktionen der Bedingung \[ K\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_m \\ s_1 & s_2 & \cdots & s_m \end{pmatrix} \geqq 0 \quad \text{für} \quad a< \begin{matrix} x_1 < x_2 \cdots < x_m \\ s_1 < s_2 \cdots < s_m \end{matrix} < b \quad (m = 1,2,\ldots) \] genügt. Derartige Operatoren und Kerne sind schon mehrfach Gegenstand der Untersuchungen des Verf. gewesen. In der vorliegenden Note gibt Verf. neben einigen Bemerkungen über solche Operatoren und Kerne ein notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür, daß ein Operator von der Form (1) oszillatorisch ist. Das Kriterium erfordert die Untersuchung gewisser \textit{Wronski}scher Determinanten. Ferner nennt Verf. ohne Beweis den Satz, der die Verallgemeinerung der \textit{Sturm-Liouville}schen Oszillationssätze auf die Lösungen des Differentialgleichungsproblemes \[ L(y) - \lambda\varrho y = 0 \quad (\varrho(x) \geqq 0), \quad y(a) = y'(a) = \cdots = y^{(n-1)}(a) = 0 \] darstellt. Verf. glaubt, wegen der Gültigkeit dieses Satzes und einiger anderer Tatsachen in den oszillatorischen Operatoren die natürliche Verallgemeinerung der \textit{Sturm-Liouville}schen Operatoren entdeckt zu haben. (IV10.)