Sur l'équation intégrale de première espèce. (Q2607934)

Gegenstand dieser Untersuchung ist die Integralgleichung erster Ordnung \[ \int\limits_a^b K(x,\xi)\varphi(\xi)\,d\xi=f(x) \quad (c\leqq x\leqq d), \tag{1} \] wo \(K(x,\xi)\), \(f(x)\) gegebene quadratisch integrierbare Funktionen sind und \(\varphi(\xi)\) die gesuchte Funktion ist. Verf. reduziert diese Gleichung dadurch, daß er statt der Funktion \(\varphi(\xi)\) ihre \textit{Fourier}koeffizienten in bezug auf ein vollständiges normiert orthogonales Funktionensystem \(\varPhi_n(\xi)\) des Intervalles \((a,b)\) betrachtet, auf ein System von unendlich vielen linearen Gleichungen \[ \sum_{n=1}^\infty a_{mn}c_n=b_m \quad (m =1,2,\ldots). \tag{2} \] Dabei ist \[ a_{mn}= \int\limits_a^b \int\limits_a^b K(x,\xi)\varPhi_n(\xi) \varPsi_m(x)\,d\xi\,dx, \quad b_m = \int\limits_c^d f(x)\varPsi_m(x)\,dx, \] und die \(\varPsi_m(x)\) bilden ein vollständiges normiert orthogonales Funktionensystem des Intervalles \((c,d)\). Aus dem \textit{E. Schmidt}schen Orthogonalisierungsverfahren für die Vektoren \(a_m = (a_{m1},a_{m2}, \ldots)\) ergeben sich dann die Existenz- und Eindeutigkeitsbedingungen für die Lösungen der Gleichung (1).