New solution of an integral equation. (Q2607960)

Es handelt sich um die \textit{Milne}sche Integralgleichung \[ f'(x) = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^\infty \dfrac{e^{-u}}{u} \left\{f(x+u) - f(x-u)\right\}\, du, \tag{\(M\)} \] die, wie unmittelbar zu sehen ist, jedes \(f(x) = ax^2 + bx + c\) als Lösung hat. Die Frage ist, ob dies die einzigen Lösungen sind bzw. ob es wenigstens unter passenden Einschränkungen für \(f(x)\) die einzigen Lösungen sind. Die Verf. haben diese Frage schon früher (Proc. London math. Soc. (2) 23 (1924), 1-26; 24 (1926), XXXI-XXXIII; 30 (1929), 95-106; F. d. M. 50, 289; 52, 396; 55\(_{\text{I}}\), 233) untersucht, wobei sie sich auf Funktionen \(f(x)\) mit \(f(x) = O(e^{A|x|})\) für alle reellen \(x\) mit einem \(A < 1\) beschränkt haben. Diese Voraussetzung verlangt wesentlich mehr, als für die Konvergenz des Integrals erforderlich ist. Mit Rücksicht auf die Konvergenzfrage wäre es daher natürlicher, etwa Funktionen der Form \(f(x)=e^{|x|}\) \ \(g(x)\) oder, was dasselbe ist, der Form \(f(x) = \) cosh \(x\cdot g(x)\) mit einem in \((-\infty, +\infty)\) zur Klasse \(L^2\) gehörigen \(g(x)\) zugrunde zu legen. Eine Erledigung des Problems für diese allgemeine Funktionsklasse ist noch nicht gelungen, doch können die Verf. in der vorliegenden Note zeigen: Jede Lösung von (\(M\)) von der Form \[ f(x) = \text{cosh }x\cdot g(x) \;\text{ mit } \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g^2(x)\left\{ 1 + (\log\, |g(x)|)^2 \right\}\, dx < \infty \] ist quadratisch. Zum Beweis wird \(f(x)\) in der Form cosh \(x\cdot g(x)\) angesetzt und von \(g(x)\) zu ihrer \textit{Fourier}transformierten \(G(x)\) übergegangen, wobei an Stelle von (\(M\)) die Funktionalgleichung \[ G(x-i) + G(x+i) = 0 \] tritt. Hieraus und aus der Tatsache, daß \(G(x)\) eine analytische Funktion sein muß, die periodisch und abgesehen möglicherweise von einer gewissen Folge dreifacher Pole regulär ist, bestimmt sich im wesentlichen \(G(x)\) und daraus \(g(x)\) und \(f(x)\). Der Beweis stützt sich auf eine große Anzahl an sich interessanter Hilfssätze.