A generalization of Picard's method of successive approximation. (Q2607995)

Die erste Randwertaufgabe für die nichtlineare Differentialgleichung \[ \dfrac{d^2y}{dx^2}=f(x,y),\tag{1} \] die mit Hilfe der \textit{Green}schen Funktion \(K(x, y)\) auf die Integralgleichung \[ y(x)=\int\limits_0^a K(x,y)f(\xi,y(\xi))d\xi \tag{2} \] zurückgeführt werden kann, besitzt bekanntlich eine Lösung, wenn das stetige \(f(x,y)\) den Bedingungen \[ \int\limits _0^y f(x, \eta)d\eta \geqq -c_1|y|^2-c_2\quad \text{und}\quad 0<2c_1<\dfrac{\pi^2}{a^2} \] genügt. Verf. gibt unter der Annahme: \(f_y\) stetig, einen neuen Beweis hierfür, der auf folgenden Gedanken beruht: Das Intervall \(\langle 0, a\rangle\) wird in eine hinreichend große Anzahl von gleichen Teilintervallen eingeteilt, in deren Endpunkten die Randwerte \(a_0, a_1, \ldots, a_n, \;(a_0 = a_n = 0)\) zunächst beliebig vorgeschrieben werden. Die Methode der sukzessiven Approximationen liefert dann für jedes Teilintervall eine Lösung \(y_r (x; a_r, a_{r-1})\) von (1); damit sich diese Lösungen zu einer mit stetiger erster Ableitung versehenen Lösung von (1) zusammensetzen, ist \[ y_r'\biggl(\dfrac{ra}{n}; a_r, a_{r-1}\biggr)= y_{r+1}'\biggr(\dfrac{ra}{n}; a_{r+1}, a_r\biggr) \] erforderlich. Diejenigen Werte von \(a_r\), welche dieser Bedingung genügen, ergeben sich, gerade als die Werte, die der Funktion \[ \varPhi (a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}) = \sum_{r=1}^n\int\limits_{\tfrac{(r-1)a}{n}}^{\tfrac{ra}{n}} \biggl\{ y_r'(x; a_r, a_{r-1})^2+2 \int\limits_0^{y_r(x; a_r, a_{r-1})} f(x, \eta)d\eta \biggr\} dx \tag{3} \] (\textit{Dirichlet}sches Integral zu (1)) ein Minimum erteilen. Die Stetigkeit der zweiten Ableitung folgt dann aus (2). Verf. zeigt darüber hinaus, daß die sich aus der Methode der sukzessiven Approximationen ergebenden Näherungslösungen \(y_r^{(N)}(x; a_r, a_{r-1})\) auch zur angenäherten Berechnung der Endlösung verwendbar sind, wenn man das Verfahren nach dem \(N\)-ten Schritt abbricht und zur Berechnung der \(a_r\) die Funktion (3) mit den Näherungswerten \(y^{(N)}_r (x; a_r, a_{r-1})\) zum Minimum macht. (IV 17.)