Die metrische Form in der absoluten und der elliptischen Geometrie. (Q2608283)

In dieser Arbeit, die an die vorstehend besprochene von \textit{F. Bachmann} unmittelbar anschließt, stellen die Verf. sich die folgende Aufgabe: Für die von ihnen axiomatisch, und zwar ganz ohne Benutzung von Anordnungsaussagen, begründete ebene elliptische und absolute Geometrie ist die Einbettbarkeit in eine projektive Ebene, in der die Sätze von \textit{Desargues} und \textit{Pappus-Pascal} gelten, bewiesen worden, so daß die betrachtete Geometrie in bekannter Weise algebraisiert werden kann; es soll gezeigt werden, daß in dem entstehenden Körper eine quadratische Form existiert, die gegenüber den Bewegungen der Geometrie invariant ist, also den Fundamentalkegelschnitt ergibt. Der Untersuchung wird ein Axiomensystem \(\mathfrak A\) zugrundegelegt, das -- abgesehen von dem Axiom über die Eindeutigkeit des von einem Punkt auf eine Gerade gefällten Lotes -- mit dem Axiomensystem übereinstimmt, das in der vorstehenden Besprechung wiedergegeben worden ist. Aus diesem System erhält man das Axiomensystem der elliptischen Geometrie und dasjenige der absoluten Geometrie durch eine Gabelung, indem man das Axiom \(E\) bzw. \(A\) (vgl. die vorstehende Besprechung) hinzufügt. In das durch \(\mathfrak A\) und \(A\) bestimmte Axiomensystem der absoluten Geometrie wird eine weitere Gabelung eingeführt, die durch die Axiome \(AS\): Es gibt zwei Geraden, die zwei gemeinsame Lote haben (d. h. es gibt ein Rechteck), und \(AO\): Zwei Geraden haben höchstens ein gemeinsames Lot (d. h. es gibt kein Rechteck) gekennzeichnet ist. \(AS\) führt auf die singulär absolute Geometrie, die eine Verallgemeinerung der euklidischen ist, \(AO\) auf die ordinär absolute Geometrie. In der singulär absoluten Geometrie sind die Bewegungen solche affinen Abbildungen, die die binäre quadratische Form \[ Q(z) = z_1^2 + kz_2^2 \qquad (-k \neq \text{ Quadratzahl}) \] in sich überführen. In der ordinär absoluten und in der elliptischen Geometrie wird die Pol-Polaren-Beziehung durch eine involutorische Korrelation vermittelt; die Bewegungen sind projektive Abbildungen, die eine ternäre quadratische Form \[ Q(z) = k_1 z_1^2 + kz_2^2 + k_3z_3^2 \qquad (k_1 k_2 k_3 \neq 0) \] in sich überführen. Dafür, daß über einem Körper eine singulär absolute, eine ordinär absolute oder eine elliptische Geometrie realisiert werden kann, ist notwendig, daß nicht jede Zahl des Körpers Quadratzahl ist. Notwendige und hinreichende Bedingungen für den Körper sind im elliptischen Falle von \textit{Podehl} und \textit{Reidemeister} (Abh. math. Sem. Hamburgische Univ. 10 (1934), 231-255; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 493) angegeben worden. Für die ordinär absolute und für die singulär absolute Geometrie (hier den von den Verf. als streng singulär absolute Geometrie bezeichneten Sonderfall ausgenommen) sind derartige notwendige und hinreichende Bedingungen noch nicht bekannt.