Remarks concerning the Euclidean four-point property. (Q2608292)

Ein halbmetrischer Raum besitzt die ``euklidische Vierpunkt-Eigenschaft'', woferne jedes Quadrupel seiner Punkte kongruent in einen euklidischen Raum eingebettet werden kann. Unter der metrischen Transformierten eines halbmetrischen Raumes \(M\) vermöge der monoton wachsenden, konkaven Funktion \(\sigma(x)\) (definiert für \(x \geqq 0\) mit \(\sigma(0) = 0\)) ist der Raum zu verstehen, der aus \(M\) entsteht, wenn man die Abstände (in \(M\)) \(pq\) je zweier Punkte \(p\), \(q\) durch \(\sigma(pq)\) ersetzt. Dann gilt der Satz: Die metrische Transformierte \(M(\alpha)\) eines beliebigen metrischen Raumes \(M\) vermöge der Funktion \(\sigma(x) = x^\alpha\) mit \(0 \leqq \alpha \leqq \frac 12\) (\(0^0 = 0\) gesetzt) hat die euklidische Vierpunkt-Eigenschaft. Man kann den Satz auch als Aussage über die Volumdeterminante eines Punktquadrupels aussprechen. Der Beweis ergibt sich aus einem Hilfssatz, der aussagt, daß die metrische \(\sigma(x)\)-Transformierte eines metrischen Raumes ebenfalls ein metrischer Raum ist. \ (V 2, 6 A.)