Sur les extensions de continu. (Q2608330)

I. Definitionen: Unter einer ``extension de continu'' (kurz: EK) wird jede Summe einer aufsteigenden Folge von Kontinuen verstanden. Die EK \(h\) \textit{nähert} sich der abgeschlossenen Menge \(e\), wenn \(h\), aber nicht \(\overline{h}\) fremd zu \(e\); \(h\) nähert sich den \(e_1\) und \(e_2\) \textit{unabhängig} (voneinander), wenn ein festes \(\eta > 0\) existiert, so daß ein (beliebig vorgegebener) Punkt \(P \subset h\) in einem Teilkontinuum von \(h\) enthalten ist, dessen Abstand von \(e_1\) bzw. von \(e_2\) kleiner als ein beliebig vorgegebenes \(\varepsilon > 0\) bzw. größer als \(\eta\) ist. Ein Kontinuum \(k\) heißt \textit{strikt} zwischen \(e_1\) und \(e_2\), wenn \(k\) Ableitung einer EK ist, welche sich \(e_1\) und \(e_2\) nähert. Die Menge \(E\) heißt kontinuaverknüpft zwischen den Mengen \(e_1\) und \(e_2\), wenn ein \(e_1\) und \(e_2\) enthaltendes Teilkontinuum von \(E\) existiert. Bezeichnungen: \(k, k_\nu\) Kontinua; \(\varkappa, \varkappa_\nu\) größte Kontinua (g. K.) einer bestimmten Art; \(A, B, e, e_\nu, e^\prime\) abgeschlossene Mengen, insbesondere auch Punkte; \(k (A, B\;|\;E)\) bzw. \(\varkappa (A,B\;|\;E)\) Teilkontinua bzw. größte Teilkontinua einer bestimmten Art der (abgeschlossenen) Menge \(E\), welche \(A\) und \(B\) enthalten; \(\chi (e,e^\prime \;|\;E)\) Summe aller \(\varkappa (e, e^\prime \;|\;E)\); \(h\) EK; \(\eta\) größte EK (g. EK), \(\theta\) Summe aller \(g\). EK, welche jeweils noch bestimmte Bedingungen erfüllen; \(h(e_1, e_2, \dots; \underline{e}^\prime_1, \underline{e}^\prime_2, \dots | \;E)\) ist Teil der (abgeschlossenen) \(E\), enthält \(e_1, e_2, \dots\) und nähert sich \(e_1^\prime, e_2^\prime, \dots; h(\underline{\underline{e}}, \underline{e}^\prime)\) nähert sich unabhängig \(e\) und \(e^\prime\); \(k(\underline{e}, \underline{e}^\prime)\) bedeutet ein zwischen \(e\) und \(e^\prime\) striktes \(k\). Satz: Vor. Es sei \(E\) kontinuaverknüpft zwischen \(e_1\) und \(e_2\). Ferner seien \(o_{j\nu}\) offene Mengen (\(j = 1, 2;\nu = 1,2, \dots\)) mit \[ e_j \subset o_{j\nu}, \quad f_{j\nu} = \overline{o}_{j\nu} -o_{j\nu} \subset f_{j{\nu -1}} = \overline{o}_{j{\nu-1}} o_{j{\nu-1}}; \] Abstand \((e_j, f_{j\nu})\to 0\) mit \(\nu \to \infty\). Beh. (1) Es existiert unabhängig von der Wahl der \(o_{1\nu}\) eine \(h(\underline{e}_1, e_2 \;|\;E)\), eine \(h(e_1, \underline{e}_2\;|\;E)\) und ähnliches. (2) Es existiert stets eine \(h(\underline{e}_1, \underline{e}_2 \;|\;E)\). -- Satz: Vor. Es seien \(e_1, e_2\) ebene, fremde Kontinua, ferner \(k_j (\underline{e}_1, \underline{e}_2)\), \(j =1, 2, 3\), strikt zwischen \(e_1, e_2\) sowie fremd bis auf \(e_1 + e_2\). Weiter sei \(\varGamma\) eine einfache \textit{Jordan}kurve, \(\varGamma^+\) bzw. \(\varGamma^-\) deren Inneres bzw. Äußeres mit \(e_1 \subset \varGamma^+\), \(e_2 \subset \varGamma^-\). Beh. \(u_{1j} = \varGamma \chi (e_1, \varGamma \;|\;k_j - k_j \varGamma^-)\) bzw. \(u_{2j} = \varGamma \chi (e_2, \varGamma \;|\;k_j - k_j \varGamma^+)\) liegen auf Teilbogen \(s_{1j}\) bzw. \(s_{2j}\) von \(\varGamma\), wobei die \(s_{1j}\) bzw. \(s_{j2}\) fremd sind. Die Anordnung der \(s_{j1}\) auf \(\varGamma\) ist die gleiche wie die der \(s_{2j}\) und ist unabhängig von \(\varGamma\). II. Beispiel eines unzerlegbaren Kontinuums, von welchem gewisse zwei Teilmengen nicht unabhängig approximierbar sind. -- Keine Beweise.