Sui gruppi di \(S_k\) associati di un \(S_r\). (Q2608410)

Bezieht man die \(S_k\) eines \(S_r\) \((r \geqq 4, \;1 \leqq k \leqq r-2)\) birational auf die Punkte einer \textit{Graßmann}schen Mannigfaltigkeit \(V_t^n\) eines \(S_\varrho \left(\varrho = \binom{r+1}{k+1}-1, \;t = (k + 1)(r-k)\right)\), so entspricht der von den \(S_{\varrho-t}\) auf \(V_t^n\) ausgeschnittenen rationalen Involution von Gruppen von \(n\) Punkten im \(S_r\) eine ebensolche \((\varrho-t+1)\)-dimensionale Involution von Gruppen von je \(n \, S_k\), die durch die Homographieen des \(S_r\) in sich übergeht. Die \(n \, S_k\) einer solchen Gruppe heißen assoziiert; irgend \(\varrho - t + 1 \, S_k\) bestimmen rational weitere \(n - \varrho + t - 1 \, S_k\), die zu den ersten assoziiert sind, und jeder \(S_{r-k-1}\), der die ersteren trifft, schneidet auch die letzteren. Daraus leitet man ab, daß die \(n\, S_k\), die \(t\) beliebige \(S_{r-k-1}\) des \(S_r\) treffen, stets zueinander assoziiert sind; aber nur in den Fällen \(r = 4\), \(k = 1, 2\) und \(r = 5\), \(k = 1, 3\) erhält man hierdurch die allgemeinste Gruppe assoziierter \(S_k\) des \(S_r\). Der erste Fall wurde von \textit{C. Segre} gefunden: zu 6 allgemeinen Geraden des \(S_4\) gibt es 5 inzidente Ebenen, von denen je vier die fünfte linear bestimmen. Der Fall \(r =5\), \(k = 3\) führt zu einer neuen Konfiguration: zu 8 allgemeinen Geraden des \(S_5\) gibt es 14 treffende \(S_3\), die zueinander assoziiert sind; je 7 dieser \(S_3\) bestimmen die restlichen 7, indem die \(\infty^1\) Treffgeraden der ersten zugleich Treffgeraden der letzten sind; diese Treffgeraden bilden eine Regelfläche der Ordnung 14 vom Geschlechte 8, die genau 91 vierfach schneidende Geraden besitzt.