Sui fasci d'Halphen, i cui punti base appartengono ad una cubica ellittica degenere. (Q2608425)

Die \textit{Halphen}schen Büschel von ebenen irreduziblen Kurven \(C_{3n}\) mit neun \(n\)-fachen Punkten \(A^n_1,\,\ldots,\, A^n_9\) konstruiert man in bekannter Weise dadurch, daß man die \(C_{3n}\) durch \(A^n_1,\, \ldots,\, A^n_8\) bestimmt, sie auf einer durch \(A_1,\,\ldots ,\, A_8\) laufenden \(C_3\) eine \(g_n^{n-1}\) ausschneiden läßt und \(A_9\) in einen \(n\)-fachen Punkt dieser Schar legt, der nicht zugleich \(i\)-facher Punkt (\(i\) Teiler von \(n\)) der von den \(C_{3i}\) durch \(A^i_1,\,\ldots,\,A^i_8\) auf \(C_3\) ausgeschnittenen Schar ist. Dieses Verfahren setzt wesentlich die Elliptizität von \(C_3\) voraus, und daher behandelt die Arbeit die Frage, wann diese Konstruktion irreduzibler \textit{Halphen}scher Büschel bei rationaler oder zerfallender \(C_3\) möglich bleibt. Zunächst ergibt sich eine notwendige Bedingung: Die \(C_3\) muß bezüglich \(A_1,\ldots,\, A_8\) virtuell elliptisch sein, d. h. die allgemeine \(C_3\) durch \(A_1,\,\ldots,\, A_8\) muß elliptisch und irreduzibel sein. Diese Bedingung ist aber nicht ausreichend; denn sucht man alle Konfigurationen von \(A_1,\, \ldots,\, A_8\), bezüglich derer eine rationale oder zerfallende \(C_3\) virtuell elliptisch ist, so erhält man 76 Möglichkeiten, die auch zeichnerisch skizziert werden. Durch \textit{Cremona}-Abbildungen lassen sich die zugehörigen \textit{Halphen}schen Büschel auf sechs verschiedene Typen zurückführen. In allen diesen Fällen existiert für die \(C_{3n}\) mit \(A^n_1,\,\ldots,\, A^n_8\) ein neutrales Punktepaar auf der \(C_3\), d. h. ein Punktepaar, das jenen Kurven eine einzige Durchgangsbedingung auferlegt. Und es zeigt sich aus der Analyse der möglichen Typen, daß dann und nur dann irreduzible \textit{Halphen}sche Büschel entstehen, wenn dieses neutrale Punktepaar aus getrennten Punkten besteht; dies ist genau bei 50 projektiv verschiedenen unter den 76 Fällen verwirklicht. Sie stellen die Gesamtheit der irreduziblen \textit{Halphen}schen Büschel mit ausartender \(C_3\) dar. Wichtig ist, daß man sie durch \textit{Cremona}-Abbildungen, die angegeben werden, auf nur zwei verschiedene Typen zurückführen kann, nämlich die folgenden: (1) \(C_3\) hat einen gewöhnlichen Doppelpunkt \(O\); \(A_1,\,\ldots,\, A_9\) sind von \(O\) verschieden, oder \(A_1\) fällt nach \(O\), und ihm sind \(i\) (\(1 \leqq i \leqq 8\)) unter den \(A_2,\,\ldots,\, A_9\) unendlich benachbart, wobei \(i - 1\) dieser Punkte einander auf einem der durch \(O\) gehenden beiden Zweige von \(C_3\) folgen. (2) \(C_3\) zerfällt in \(C_2\) und eine Gerade \(r\), die sich nicht berühren; \(A_1\) fällt in einen der Schnittpunkte, ihm liegen 6 unter den \(A_2,\,\ldots,\, A_9\) unendlich benachbart, von denen 5 einander auf \(C_2\) folgen.