Quelques résultats nouveaux dans la géométrie sur une \(V_3\) algébrique. (Q2608436)

In einer grundlegenden Arbeit (Accad. Ital. Mem. Cl. Sci. fis. mat. nat. 5 (1934), 479-574; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 597) hat Verf. die \textit{Severi}sche Theorie der Äquivalenzscharen zur Gewinnung invarianter und kovarianter Scharen auf einer algebraischen \(V_3\) fruchtbar gemacht, und zwar führt er auf einer Kurve \(C\) zwei kovariante Punktscharen \(\varkappa_C\), \(\chi_C\) ein, von denen die erste die kanonische Schar der Kurve, die zweite ihre Schnittschar mit den kanonischen Flächen der \(V_3\) ist, deren Ordnung die Immersionszahl von \(C\) in \(V_3\) angibt; auf einer Fläche \(A\) werden eine kovariante Kurvenschar, nämlich die kanonische Schar \(\mathfrak H_A\), sowie drei Punktscharen, nämlich die kanonische Schar \(\varphi_A\), die \textit{Severi}sche Schar \(\psi_A\) und die \textit{Enriques}sche Schar \(\varepsilon_A\) eingeführt; schließlich trägt die \(V_3\) eine invariante Flächenschar \(X\), nämlich die kanonischen Flächen (wobei \(X\) die ausgezeichneten Flächen, die durch birationale Abbildungen der \(V_3\) in einen Punkt bzw. eine einfache Kurve überführbar sind, zwei- bzw. einfach enthält), zwei invariante Kurvensysteme \(\mathfrak X = (X, X)\) und \(\mathfrak Y\) und die invarianten Punktscharen \(\xi\), \(\eta\), \(\zeta\), aus deren Ordnungen sich die Geschlechter \(\varOmega_0,\,\varOmega_1,\,\varOmega_2\), \(P_a\) von \(V_3\) berechnen lassen. Wegen der Definitionen dieser Scharen vgl. das genannte Referat. In der vorliegenden Abhandlung untersucht Verf. zunächst die Beziehungen zwischen den Scharen \(\mathfrak H\), \(\varphi\), \(\psi\), \(\varepsilon\) zweier durch eine beliebige algebraische Korrespondenz \(\theta (n, n^*)\) aufeinander bezogenen Flächen \(S\) und \(S^*\), woraus sich insbesondere die bekannten Beziehungen zwischen den Invarianten dieser Flächen ergeben, und behandelt die gleiche Frage für die mit \(V_3\) invariant verbundenen Äquivalenzsysteme bei einer Korrespondenz \(\theta (n, n^*)\) zwischen \(V_3\) und \(V{}_3^*\). Ist \(\theta\) zunächst frei von Fundamentalelementen, so gehen in die Verknüpfungsformeln die Flächen doppelter Verzweigung bzw. Koinzidenz \(D\), \(E\), die Kurven dreifacher Verzweigung bzw. Deckung \(S\), \(\tau\), und die Punkte vierfacher Verzweigung bzw. Deckung \(\omega\), \(\theta\) auf \(V_3\) und die entsprechend mit einem Stern gekennzeichneten Gebilde auf \(V{}_3^*\) ein. Bedeutet ein Querstrich die Abbildung auf die andere Mannigfaltigkeit, so ergeben sich z. B. \[ \begin{aligned} &\overline X + E^* \equiv nX^* + D^*,\\ 2&\overline{\mathfrak X} + \mathfrak H_{E^*} + 3(E^*, \overline X) \equiv 2n\mathfrak X^* + \mathfrak H_{D^*} + 3(D^*, X^*), \tag{1}\\ &\overline{\mathfrak Y} + \mathfrak H_{E^*} - \tau^* \equiv n\mathfrak Y^* + \mathfrak H_{D^*} - S^* \end{aligned} \] auf \(V{}_3^*\) und entsprechende Formeln auf \(V_3 \); die Transformationsformeln für \(\xi\), \(\eta\), \(\zeta\) sind verwickelter. Durch Vergleich der Ordnungen entnimmt man hieraus die Relationen zwischen den Invarianten \(\varOmega_0\), \(P_a\) und der \textit{Zeuthen-Segre}schen Invarianten \(J\) von \(V_3\) und \(V{}_3^*\); aus ihnen liest man ab, daß wenn \(n = n^*\) ist und \(\theta\) gar keine Verzweigungs- oder Fundamentalelemente auf \(V_3\) und \(V{}_3^*\) hat, jene drei Invarianten für \(V_3\) und \(V{}_3^*\) übereinstimmen. Weiterhin untersucht Verf. die Modifikation dieser Verknüpfungsformeln im Falle, daß \(\theta\) einen Fundamentalpunkt \(P^*\) auf \(V{}_3^*\) (dem eine doppelpunktfreie Fläche \(P\) auf \(V_3\) entspricht) oder eine Fundamentalkurve \(C^*\) (deren Bild eine ebensolche Fläche \(C\) auf \(V_3\) ist) und keine weiteren Fundamentalelemente besitzt. Ist z. B. \(n^* =1\), so gilt in Erweiterung von (1) im ersten Falle \[ \begin{aligned} X&\equiv \overline X{}^* + E + 2P, \\ 2\mathfrak X&\equiv 2\overline{\mathfrak X}{}^* + \mathfrak H_E + 3(E,\overline X{}^*) + \tfrac13\{8\mathfrak H_P + 10(P,E)\},\\ \mathfrak Y&\equiv \overline{\mathfrak Y}{}^* + \mathfrak H_E-\tau, \end{aligned} \] im zweiten Falle hingegen \[ X \equiv \overline X{}^* + E + C,\quad \text{usw.} \] Die erhaltenen Formelsätze wendet Verf. auf den Spezialfall an, in dem \(\theta\) gar keine Verzweigungs- und Deckelemente besitzt, wie dies insbesondere bei birationalen Transformationen \(n = n^* = 1\) der Fall ist, daß aber Fundamentalpunkte und -kurven vorkommen. Die so entstehenden Formeln zwischen \(\varOmega_0\), \(P_a\), \(J\) für \(V_3\) und \(V{}_3^*\) zeigen, daß \(P_ a\) bei birationalen Abbildungen absolut, \(\varOmega_0\), \(J\) hingegen relativ invariant sind. Überdies ergeben sich Beziehungen zwischen den Charakteren und Anzahlen der Fundamentalelemente bzw. ihrer Bildflächen, die für das Studium räumlicher \textit{Cremona}-transformationen wichtig sind. Der zweite Teil der Arbeit befaßt sich mit den linearen und stetigen Flächensystemen auf \(V_3\). Nennt man eine Fläche, die einem mindestens zweidimensionalen Linearsystem mit irreduziblen Schnittkurven angehört, allgemein, so ist die Irregularität \(q_2\) einer allgemeinen Fläche nicht von dieser abhängig, sondern ein Charakter der \(V_3\). Für diesen gibt Verf. eine neue geometrische Deutung: er ist gleich der Anzahl linear-unabhängiger Flächen des Systems \(| 3C + X |\), die durch die \textit{Jacobi}sche Kurve des Flächennetzes \(| C |\) gehen. \(q_2\) ist auch der Defekt der charakteristischen Schar derjenigen vollständigen Flächensysteme, die auf einer \(V_3\) des \(S_4\) von den adjungierten Mannigfaltigkeiten genügend hoher Ordnung ausgeschnitten werden; zu jedem solchen Linearsystem gehört ein vollständiges stetiges Flächensystem, dessen charakteristische Kurvenschar vollständig ist. \(q_2\) ist der höchste Defekt der charakteristischen Scharen irreduzibler linearer Flächensysteme, und daher gelangt man, ähnlich wie in der Theorie der algebraischen Flächen, zu einer Erweiterung des \textit{Riemann-Roch}schen Satzes auf die linearen Flächensysteme einer \(V_3\). Sind speziell die kanonischen Flächen der \(V_3\) allgemein, so erhält man daraus neue wichtige Ungleichungen zwischen den Invarianten der \(V_3\): \[ 3P_g \leqq \varOmega_2 + q_2 + 6;\quad P_g \leqq \tfrac12\varOmega_0 + 2q_2 + 3. \] Zum Schluß berechnet Verf. in Weiterführung einer Arbeit von \textit{Rosenblatt} (Rend. Sem. Mat. Univ. Roma (2) 4 (1927), 100-103; F. d. M. 53, 641 (JFM 53.0641.*)) die Anzahl \(M\) der Moduln, von denen \(V_3\) abhängt. Wie in der Theorie der Flächen geht hierin eine noch ununtersuchte Invariante ein, für die man lediglich auf Abschätzungen angewiesen ist. Ist z. B. \(P_g > 0\), \(q_2 > 0\), so ist \[ \begin{aligned} &M \geqq 17 + \tfrac12 (J +\varOmega_0) -18 P_a- P_g-2q_2\\ \noalign{\noindent und} &M \leqq 5P_a - q_2 + 10\pi_c - 14, \end{aligned} \] wobei \(\pi_c\) das Kurvengeschlecht für Flächen \(C\) bedeutet, die einem genügend umfassenden Linearsystem und einem stetigen System mit vollständiger charakteristischer Schar angehören.