Über die Gestalt der positiv gekrümmten offenen Flächen im dreidimensionalen Raume. (Q2608479)

Verf. stellt dem \textit{Hadamard}schen Satz, daß jede singularitätenfreie geschlossene Fläche positiver Krümmung eine Eifläche ist, einen entsprechenden Satz über offene Flächen zur Seite. Es sei \(\varPhi\) eine abstrakt gegebene, zweimal stetig differenzierbare, vollständige \textit{Riemann}sche Fläche. Durch eine eindeutige, zweimal stetig differenzierbare, im kleinen längentreue Abbildung werde \(\varPhi\) in den dreidimensionalen euklidischen Raum \(R_3\) eingebettet. Die Bildfläche im \(R_3\) sei \(F\). Besitzt alsdann \(\varPhi\) und damit auch \(F\) überall positive \textit{Gauß}sche Krümmung, so ist die Abbildung sogar im großen eineindeutig, und \(F\) hat keine asymptotischen Punkte (d. h. jeder in \(\varPhi\) divergenten Punktfolge entspricht eine im \(R_3\) divergente Punktfolge). Ist ferner \(\varPhi\) geschlossen, so ist \(F\) der Kugel homöomorph, woraus leicht der \textit{Hadamard}sche Satz folgt. Ist dagegen \(\varPhi\) offen, so ist \(\varPhi\) und damit auch \(F\) der Ebene homöomorph, und es folgt, daß \(F\) die Begrenzung einer unbeschränkten konvexen Punktmenge des \(R_3\) ist. Der Beweis beruht auf der Untersuchung der Gestalt der Niveaulinien und der Schattengrenzen. Er liefert darüber hinaus noch weitere Ergebnisse, z. B: Die sphärische Abbildung von \(F\) ist eineindeutig, das sphärische Bild von \(F\) ist ein sphärisch konvexes Gebiet, das ganz innerhalb einer Halbkugelfläche liegt. Die zum Beweis benutzten Hilfssätze betreffen Eigenschaften ebener Kurven und stellen zum Teil Analoga zu den oben genannten Sätzen über Flächen dar.