Integralgeometrie. XIII: Zur Kinematik. (Q2608510)

\(\mathfrak G_0\), \(\mathfrak G_1\) seien zwei beschränkte Gebiete im Raum, begrenzt von endlich vielen Polyedern ohne gemeinsame Punkte; \(\mathfrak G_0\) fest, \(\mathfrak G_1\) starr beweglich; \(\mathfrak G_0\mathfrak G_1\) sei ihr Durchschnitt. Ferner bedeute \(V_i\) Volumen, \(O_i\) Oberfläche, \(M_i\) Integral der mittleren Krümmung, \(C_i\) Integral der Totalkrümmung von \(\mathfrak G_i\). Dann gilt die ``kinematische Hauptformel'' \[ \int C(\mathfrak G_0\mathfrak G_1) \dot{\mathfrak G}_1 = 8\pi^2(C_0V_1 + M_0O_1 + O_0M_1 + V_0C_1), \] wobei \(C(\mathfrak G_0\mathfrak G_1)\) die Totalkrümmung von \(\mathfrak G_0\mathfrak G_1\), \(\dot{\mathfrak G}_1\) die kinematische Dichte von \(\mathfrak G_1\) bezeichnet und das Integral über alle Lagen von \(\mathfrak G_1\) zu erstrecken ist. Der Beweis geschieht schrittweise, zuerst für Komplexe, die nur aus Punkten, nur aus Strecken, nur aus Dreiecken oder nur aus Zellen (Tetraedern) bestehen. Die Mengenfunktionen \(V\), \(O\), \(M\), \(C\) lassen sich hierfür leicht definieren, und man verlangt für sie \[ \varPhi(\mathfrak G' +\mathfrak G'')=\varPhi(\mathfrak G') +\varPhi(\mathfrak G'') -\varPhi(\mathfrak G'\mathfrak G''). \] Dabei bedeutet \(\mathfrak G' + \mathfrak G''\) die Vereinigungsmenge von \(\mathfrak G'\) und \(\mathfrak G''\). Für die ``Bausteine'' entnimmt man die Werte von \(V\), \(O\), \(M\), \(C\) der Theorie der konvexen Körper. Der Beweis der Hautpformel wird dadurch auf den Fall zurückgeführt, daß \(\mathfrak G_0\) und \(\mathfrak G_1\) Bausteine sind. Dieser ist in Ergebnissen von \textit{Santaló} (Actual. sci. industr. 357 (1936); F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 840) enthalten. Ein direkter Beweis (für Quader und Annäherung von Zahlen durch solche) wird skizziert. Die Formel läßt sich verallgemeinern auf \(n\) Gebiete; der Fall \(n = 3\) wird explizit angegeben.