Una proprietà di certi spazi di Veblen ed alcune estensioni al campo differenziale della nozione di birapporto. (Q2608517)

Verf. erhält hier auf anderem Wege ein Ergebnis von \textit{E. Cartan} wieder, das die Möglichkeit, den Begriff des Doppelverhältnisses für vier Erzeugende einer Regelfläche einzuführen, betrifft (Acad. Roumaine, Bull. Sect. sci. 14 (1931), 167-174; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 889). Von diesem Ergebnis hat Verf. an anderer Stelle schon eine Anwendung gemacht, indem er ``projektive Kurven'' auf einer Fläche des \(S_3\) definiert hat (Atti Accad. naz. Lincei, Rend., Cl. Sci. fis. mat. nat. (6) 21 (1935), 656-660; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 771), die dann in anderen Arbeiten von ihm selbst (Atti Accad. naz. Lincei, Rend., Cl. Sci. fis. mat. nat. (6) 22 (1935), 400-403; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 771), von \textit{A. Terracini} (Atti Accad. naz. Lincei, Rend., Cl. Sci. fis. mat. nat. (2) 22 (1935), 125-129; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 772) und von \textit{E. Bompiani} (C. R. Acad. Sci., Paris, 201 (1935), 1006-1008; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 772) untersucht worden sind. Zunächst behandelt Verf. (in \S~1) Flächen des projektiven \(S_n\) \textit{mit planaren Punkten} (im Sinne von \textit{E. E. Levi}), die \(\infty^1\) ebene Kurven enthalten. Zum Beispiel bemerkt er, daß die Fläche, die Ort von \(\infty^1\) ebenen Kurven ist, sicher dann aus planaren Punkten besteht, wenn von diesen Ebenen je zwei aufeinander folgende sich längs einer Geraden schneiden; daß ferner, wenn man diesen Fall (und den trivialen, daß die \(\infty^1\) Ebenen im \(S_4\) liegen) ausschließt, die Fläche im \(S_5\) liegt und dort bestimmt werden kann, indem man die \(\infty^1\) Ebenen beliebig (jedoch so, daß zwei aufeinander folgende keinen Punkt gemeinsam haben) wählt und auf einer Ebene eine erzeugende Kurve vorgibt. In \S~2 betrachtet Verf. Flächen \(S\) des \(S_n\), die Ort von \(\infty^1\) nicht zerfallenden Kegelschnitten einer Quadrik \(Q\) des \(S_n\) sind. \textit{Assoziiert} zum Punkte \(P\) von \(S\) nennt er die Tangente \(t_1\) in \(P\) an \(S\), die bezüglich \(Q\) zur Tangente \(t\) in \(P\) an den erzeugenden Kegelschnitt, der durch \(P\) hindurchgeht, konjugiert ist. Er zeigt, daß die Bestimmung von \(\infty^1\) assoziierten Kurven auf \(S\) (d. h. Kurven, die die oben genannten \(t_1\) berühren) von einer \textit{Riccati}schen Differentialgleichung abhängt; daraus ergibt sich, daß die \(\infty^1\) Kegelschnitte durch die assoziierten Kurven punktweise projektiv aufeinander bezogen sind. (Bemerkung des Ref.: Übrigens ist leicht zu sehen, daß die so entstehende projektive Abbildung zwischen zwei unendlich benachbarten Kegelschnitten des Systems nichts anderes ist als die Projektion von dem Polar-\(S_{n-3}\) der Ebene eines der beiden Kegelschnitte aus.) Das Ergebnis ermöglicht es, als Doppelverhältnis von vier Punkten auf \(S\) das Doppelverhältnis der Punkte, in denen die durch sie hindurchgehenden ``assoziierten Kurven'' irgendeinen der \(\infty^1\) Kegelschnitte schneiden, einzuführen. Wenn diese Kegelschnitte einem konjugierten Netz angehören, so bilden die assoziierten Kurven die andere Kurvenschar des Netzes (\S~3). Die Deutung der Geraden des \(S_3\) als Punkte einer Quadrik des \(S_5\) führt leicht zu den Ergebnissen von \textit{Cartan} (\S~4) in Verbindung mit einem bekannten Satz von \textit{P. Serret}; daraus folgt auch eine einfache Konstruktion der ``Evolventen''-Regelflächen (nach \textit{E. Cartan}) einer gegebenen Regelfläche. Es ergibt sich offenbar auch ein Begriff des Doppelverhältnisses für vier Geraden einer Kongruenz, die aus \(\infty^1\) Regelscharen besteht, und daher auch für vier Punkte einer Kurve \(C\) auf einer Fläche \(\sigma\) des \(S_n\) (indem man in diesem Falle das Doppelverhältnis der vier durch die Punkte hindurchgehenden Geraden der Kongruenz nimmt, die von den \(\infty^1\) Regelscharen des einen oder anderen Systems der \textit{Lie}schen Quadriken für \(\sigma\) bezüglich der Punkte von \(C\) gebildet wird; oder auch der oskulierenden Quadriken an die Regelflächen der Asymptotenrichtungen des einen oder des anderen Systems von \(\varrho\) längs \(C\). Auf ganz anderem geometrischem Wege ist \textit{E. Bompiani} zum Begriff des Doppelverhältnisses von vier Punkten einer Kurve des projektiven \(S_n\) oder auch von vier Punkten einer Fläche des \(S_3\) gelangt; s. Atti Accad. naz. Lincei, Rend., Cl. Sci. fis. mat. nat. (6) 23 (1936), 807-812; Ann. Sci. Univ. Jassy 23 (1937), 75-105; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 846; \(63_{\text{I}}\), 681). Es werden noch andere Anwendungen und Deutungen in der nichteuklidischen und konformen Geometrie gegeben; schließlich verallgemeinert Verf. (in \S~5) die Ergebnisse auf den Fall einer \(V_{k+1}\) im \(S_n\), die Ort von \(\infty^1\) nicht spezialisierten \(V{}_k^2\) (\(1\leqq k \leqq n - 2\)) einer Quadrik \(Q\) des \(S_n\) ist. (Auch hier erhält man eine projektive Abbildung zwischen zwei unendlich benachbarten \(V{}_k^2\), die nichts anderes als eine Projektion ist.) Da sich die projektive Abbildung zwischen zwei Kegelschnitten (oder allgemeiner zwischen zwei \(V{}_k^2\)) offenbar auf ihre Ebenen (bzw. \(S_{k+1}\)) erweitern läßt, wird dadurch, wie Verf. in \S~6 feststellt, ein projektiver Zusammenhang für eine Mannigfaltigkeit \(X_{k+1}\) bestimmt, wenn zusammen mit der \(X_{k+1}\) im projektiven \(S_n\) eine Quadrik \(V{}_{n-1}^2\) gegeben ist, die auf jedem Tangenten-\(S_{k+1}\) an \(X_{k+1}\) eine \(V{}_k^2\) bestimmt. (Verf. hat aber nicht bemerkt, daß dieser projektive Zusammenhang nichts anderes ist als der \textit{Riemann}sche Zusammenhang, der in der \(X_{k+1}\) durch die nichteuklidische Metrik des \(S_n\) mit der Quadrik \(V{}_{n-1}^2\) als absolutem Gebilde induziert wird.) Interessanter erscheinen die Anwendungen (\S~6) auf die Geometrie der \(k\)-Sphären im \(S_n\) und der linearen Geradenkomplexe im projektiven \(S_3\).