Über die freien Schwingungen einer runden Platte, die am Rande mit Reibung aufgestützt ist. (Q2608877)

Während die gewöhnliche Theorie der Plattenschwingungen die Arbeit der Randkräfte vernachlässigt, berücksichtigt die vorliegende Arbeit gerade nur diese Randkräfte. Es werden die Schwingungen einer kreisrunden Platte vom Radius \(R\) untersucht unter der Annahme, daß die Platte am Rande mit Reibung aufgestützt ist. Die Reibung übt ein Moment aus, das der Neigung der Platte entgegenwirkt, und zwar wird dieses Moment der Neigungsgeschwindigkeit proportional genommen. Den Proportionalitätsfaktor \(Z=\left(M: \dfrac{\partial^2u} {\partial t\partial r}\right)_{r=R}\) bezeichnet Verf. als ``Drehimpedanz der Randbedingungen''. Mit dem Ansatz \(u(r,t) = v(r)e^{pt}\) für kleine Verschiebungen der Mittelfläche normal zur Plattenoberfläche erhält man die Randbedingung \[ Z = \frac w{8ik}\left[\frac{1-m}{kR} - 2 \frac{I_0(kR) \;J_0(kR)} {I_0(kR) \cdot J_1(kR) + I_1(kR) \cdot J_0(kR)}\right], \] wo \(m\) die \textit{Poisson}sche Konstante, \(I_0\), \(J_0\), \(I_1\) und \(J_1\) in bekannter Weise Zylinderfunktionen bezeichnen. \(w\) ist nur von der Dimension und den elastischen Konstanten der Platte abhängig, während \(k\) außerdem noch \(p\) enthält. \(Z \to \infty\) gibt die eingespannte, \(Z = 0\) die frei aufliegende Platte. In diesen Fällen wird \(kR\) reell und \(p\) rein imaginär, d. h. es treten nur ungedämpfte Schwingungen auf. Das gleiche ist der Fall, wenn \(Z\) rein imaginär ist, wenn also die Drehimpedanz einen reinen Blindwert darstellt. Im allgemeinen wird \(Z\) aber reell sein. Dann wird die Gleichung komplex, und man erhält gedämpfte Schwingungen. Um die Grundschwingung zu berechnen, entwickelt Verf. ein Näherungsverfahren zur Lösung der exakten Gleichung. Zur Bestimmung der übrigen Wurzeln der Eigenwertgleichung werden die asymptotischen Entwicklungen der Zylinderfunktionen für große Argumentwerte benutzt und die Wurzeln der so gewonnenen genäherten Gleichung bestimmt. Jede freie Schwingung stellt sich dann als Summe dieser gedämpften Teilschwingungen dar.