Un théorème sur les fonctions définies dans les ensembles infinies quelconques. (Q2608927)

Verf. beweise folgenden Satz: \(E\) sei irgendeine gegebene unendliche Menge und \(R\) eine Relation zwischen den Elementen von \(E\) derart, daß es zu jedem Element \(x\) von \(E\) höchstens ein Element \(y\) von \(E\) gibt, für das \(xRy\) gilt. Es gibt dann eine Teilmenge \(E_1\) von \(E\) von derselben Mächtigkeit wie \(E\) derart, daß für irgend zwei verschiedene Elemente \(x\), \(y\) von \(E_1\) weder \(xRy\) noch \(yRx\) gilt. Ersetzt man hierin die Worte ``höchstens ein Element,'' durch ``höchstens eine endliche Anzahl von Elementen'', so erhält man eine Aussage, die für ein \(E\) von der Mächtigkeit \(2^{\aleph_0}\) von \textit{D. Lazar} (Compositio math., Groningen, 3 (1936), 304; F.~d.~M. 62\(_{\text{I}}\), 235), dann von Verf. (Fundam. Math., Warszawa, 28 (1937), 71-74; F.~d.~M. 63\(_{\text{I}}\), 29) für \(E\) von der Mächtigkeit \(2^{\mathfrak{m}}\), wo \(\mathfrak{m}\) eine Kardinalzahl \(\geqq \aleph_0\), behandelt und für \(E\) von der Mächtigkeit \(\aleph_{\alpha+1}\), wo \(\alpha\) eine beliebige Ordinalzahl ist, schließlich von \textit{S. Piccard} (Fundam. Math., Warszawa, 28 (1937), 197-202; F.~d.~M. 63\(_{\text{I}}\), 30) für eine beliebige nicht abzählbare Menge \(E\) bewiesen worden ist. (IV 3 A.)