Invariant matrices and \(S\)-functions. (Q2608965)

Ist \(A^{[\lambda]}=A^{[\lambda_1,\,\lambda_2,\ldots \!,\lambda_p]}\) eine invariante Matrix (nach \textit{I. Schur}, Diss. Berlin, 1901; F.~d.~M. 32, 165-166) mit Spur \(\{\lambda_1,\,\lambda_2,\ldots \!,\lambda_p\}\) einer gegebenen Matrix \(A=\|\, a_{ik} \,\|\), so gilt, wenn \(\varSigma\) die direkte Summe und \(K_{\lambda \mu \nu}\) Konstante bedeuten: \[ \left[ A^{[\lambda]} \right]^{\mu} = \sum K_{\lambda \mu \nu} A^{[\nu]}. \] Hieraus kann für die Spuren \(\{ \; \}\) eine Art ``Multiplikation'' abgeleitet werden: \[ \{ \lambda \} \otimes \{ \mu \} = \sum K_{\lambda \mu \nu} \{ \nu \}. \] Hier wird für den Fall, daß \(\{ \lambda \}\) und \(\{ \mu \}\) die elementarsymmetrischen Funktionen (der Eigenwerte von \(A\)) sind, eine Methode für die Berechnung der \(K_{\lambda \mu \nu}\) angegeben, die die durch \textit{Littlewood} und \textit{Richardson} (Philos. Trans. R. Soc. London (A) 233 (1934), 99-142; F.~d.~M. 60\(_{\text{II}}\), 896) eingeführten \(S\)-Funktionen und die Charaktere der symmetrischen Gruppe benutzt.