The approximation of one matrix by another of lower rank. (Q2608966)

Fragen der angewandten Wahrscheinlichkeitsrechnung führen auf die Aufgabe, zu einer gegebenen reellen Matrix \(A=(a_{\mu \nu})\) des Ranges \(r\) mit \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten eine Matrix \(B=(b_{\mu \nu})\) derselben Gestalt mit vorgeschriebenem Rang \(r' < r\) derart zu bestimmen, daß \(\sum\limits_{\mu,\, \nu}(a_{\mu \nu}-b_{\mu \nu})^2=\) min wird. Die Verf. geben folgende Antwort: Ist \(A\) eine Diagonalmatrix mit \(a_{ii}=\alpha_i\), \(\alpha_1 \geqq \alpha_2 \geqq \cdots \geqq \alpha_r \geqq 0\), so kann für \(B\) die Diagonalmatrix mit den Elementen \(\beta_i=\alpha_i\) für \(i \leqq r'\), \(\beta_i=0\) für \(i > r'\) gewählt werden, und dies ist die einzige Lösung, falls \(\alpha_{r'} \neq \alpha_{r'+1}\). Hat \(A\) nicht die angegebene Gestalt, so bestimme man reelle orthogonale Matrizen \(U\) und \(V\) derart, daß \(A_1=U\, A \, V\) sie erhält, und \(B_1\) nach der obigen Regel; dann löst \(B=U'\, B_1\, V'\) die Aufgabe. (IV 16.)