The automorphic transformations of a singular matrix pencil. (Q2608974)

\(A + \lambda B\) sei ein singuläres Matrizenbüschel. Verf. sucht alle möglichen Matrizen \(P\) und \(Q\) von der Eigenschaft, daß \[ P(A + \lambda B)Q = A + \lambda B. \] Durch Reduktion auf Normalform und Zerspalten in Teilmatrizen findet er, daß man neun Typen von Gleichungen \[ P_{ij} \varGamma_j = \varGamma_i R_{ij} \qquad (i,j = 1,2,3) \] zu lösen hat, wobei die \(\varGamma_i\), \(\varGamma_j\) bzw. (1) \textit{Kronecker}sche singuläre Normalmatrizen, (2) nicht singuläre klassische Normalmatrizen oder (3) Transponierte der \textit{Kronecker}schen sind. (In der Literatur scheint nur der Typus (2) unter diesem Gesichtspunkt untersucht worden zu sein.) Diese Fälle werden hier im einzelnen betrachtet; es werden vollständige Lösungen gefunden, wobei auch die Anzahl willkürlicher Parameter festgestellt wird. Es sei hier ein Satz als Beispiel für die Art der Ergebnisse angeführt : \(\varGamma_j\) sei eine einfache \textit{Kronecker}sche Teilmatrix mit \(j + 1\) Zeilen und \(j\) Spalten, \(\varGamma_i\) eine andere, vom transponierten Typus, mit \(i\) Zeilen und \(i + 1\) Spalten; man bilde eine persymmetrische Matrix \(P_{h+k}\) von \(i + 1\) Spalten und \(j + 1\) Kolonnen mit \(i + j + 1\) willkürlichen Elementen; \(P_{ij}\) ist dann \(P_{h+k}\) bis auf die letzte Zeile, und \(R_{ij}\) ist \(P_{h+k}\) bis auf die letzte Spalte.