Die Gruppe der \(p^n\)-primären Zahlen für einen Primteiler \(\mathfrak p\) von \(p\). (Q2609091)

Sei \(l\) ein diskret bewerteter perfekter Körper der Charakteristik 0 mit vollkommenem Restklassenkörper \(\mathfrak k\) der Primzahlcharakteristik \(p\), so daß nach der Strukturtheorie solcher Körper \(l\) vollverzweigte (\textit{Eisenstein}sche) Erweiterung endlichen Grades eines eindeutig bestimmten perfekten unverzweigten Teilkörpers \(k\) mit demselben Restklassenkörper \(\mathfrak k\) ist. Sei \(L\) ein unverzweigter zyklischer Erweiterungskörper vom Grade \(m\) über \(l\) und enthalte \(l\) die \(m\)-ten Einheitswurzeln. Sei ferner \(K\) der größte absolutunverzweigte Teilkörper von \(L\) und \(\mathfrak K\) der Restklassenkörper von \(K\) und \(L\). In dem hier allein interessierenden nicht-trivialen Fall \(m = p^n\) bringt der Verf. die von \textit{Witt} im J. reine angew. Math. 176 (1936), 126-140 (F. d. M. \(62_{\text{II}}\), 1112) angegebene arithmetisch ausgezeichnete Erzeugung von \(\mathfrak K/\mathfrak k\) in Zusammenhang mit der \textit{Kummer}schen Erzeugung von \(L/l\) und deckt den Mechanismus dieses Zusammenhanges auf. -- Werde \(k\) speziell als endlicher Körper von \(q = p^f\) Elementen angenommen. Faßt man dann \(l\) als \(\mathfrak p\)-adische Erweiterung eines die \(p^n\)-ten Einheitswurzeln enthaltenden algebraischen Zahlkörpers \(\varLambda\) für einen Primteiler \(\mathfrak p\) von \(p\) auf, so gewinnt man eine Kongruenzcharakterisierung der für \(\mathfrak p\) \ \(p^n\)-primären \(\omega\) aus \(\varLambda\) und eine darauf gegründete explizite Bestimmung des \textit{Artin}-Symbols \[ \left(\frac{\omega}{\mathfrak p}\right)_{p^n} \;\text{ in } \;\varLambda. \]