On certain equations in relative-cyclic fields. (Q2609103)

\(F\) sei ein beliebiger Körper, \(W\) zyklisch über \(F\) vom Grade \(k\), \(S\) ein erzeugender Automorphismus. Verf. untersucht die Lösbarkeit der Gleichungen \[ \xi^S = \alpha \xi \qquad \text{ und } \qquad (2) \quad \eta^S = \alpha \eta + \beta \tag{1} \] (\(\alpha, \beta, \xi, \eta\) in \(W\)) und findet mit elementaren Mitteln: Eine notwendige und hinreichende Bedingung für eine nicht triviale Lösbarkeit von \((1) - \xi = 0\) die triviale Lösung -- ist \(N(\alpha) = 1\) (\(N\) bezeichne die Norm von \(W\) nach \(F\)). Sei \(W = F(\vartheta)\) mit der irreduziblen Gleichung \(f(\vartheta) = 0\) mit höchstem Koeffizienten 1 und \(\alpha = g(\vartheta)\) (\(g\) primitives Polynom vom Grade \(l\)). Das obige Kriterium ist gleichwertig mit: (1) hat dann und nur dann eine nicht triviale Lösung, wenn die Resultante \(R(g, f) = 1\) ist. Ist \(\xi \neq 0\) eine spezielle Lösung von (1), so ist die allgemeine Lösung \(\lambda\xi\) (\(\lambda\) beliebig aus \(F\)). Ist insbesondere \(F\) ein Galoisfeld, so ist dieses letzte Kriterium gleichwertig mit dem bekannten Reziprozitätsgesetz: \(\left\{\dfrac gf\right\} = (-1)^{kl} \left\{\dfrac fg\right\}\). Ist \(N(\alpha) \neq 1\), besitzt also (1) nur die triviale Lösung \(\xi = 0\), so ist (2) eindeutig lösbar. Ist \(N(\alpha) = 1\), so kann (2) in der Form \[ \eta^S = \eta + \beta \tag{"(2a)"} \] angenommen werden. Verf. beweist: (2a) ist dann und nur dann lösbar, wenn Sp \((\beta) = 0\) ist (Sp bezeichne die Spur von \(W\) nach \(F\)). Ist \(\beta = h(\vartheta)\), so ist Sp\((\beta)\) der Koeffizient von \(x^{k-1}\) in \(h(x) f^\prime(x)\) mod \(f(x)\). Ist \(\eta\) eine spezielle Lösung von (2a), so ist die allgemeine Lösung \(\eta + \lambda\). (\(\lambda\) beliebig in \(F\)).