Note on divisibility sequences. (Q2609124)

Eine Folge ganzer rationaler Zahlen \[ (u) = u_1,\, u_2,\, u_3,\, \ldots,\, u_n,\,\ldots \] heißt Teilbarkeitsfolge, wenn aus \(r \mid s\) stets \(u_r \mid u_s\) folgt. \(m\) heißt Teiler von \((u)\), wenn \(m\mid u_r\) für ein gewisses \(r\). Ist \(p\) Primteiler von \((u)\), so wird mit \(\varrho_a\) der Index des ersten Gliedes aus \((u)\) bezeichnet, das durch \(p^a\) teilbar ist. Sei \((u)\) so beschaffen, daß \(u_n \neq 0\) für alle \(n\). Man definiert dann die zu \((u)\) gehörigen Binomialkoeffizienten \([n, r]\) durch \[ \begin{aligned} [n, r] &= 1\quad \text{für}\quad r = 0;\;n = 0,\, 1,\, 2,\, \ldots;\\ [n, r] &= \frac{u_n\cdot u_{n-1}\cdot\ldots\cdot u_{n-r+1}}{u_1\cdot u_2\cdot\ldots\cdot u_r}\quad \text{für}\quad r = 1,\,\ldots,\, n;\;n = 1,\, 2,\,\ldots; \end{aligned} \] \((u)\) hat die Eigenschaft \(A\), falls aus \(c = (a, b)\) stets \(u_c = (u_a, u_b)\) folgt. \((u)\) hat die Eigenschaft \(B\), wenn für jeden Primteiler \(p\) von \((u)\) und für jede natürliche Zahl \(a\) dann und nur dann \(u_r \equiv 0\;\text{mod}\, p^a\) ist, falls \(r \equiv 0\;\text{mod}\, \varrho_a\) ist. Verf. beweist die Sätze: (1) Eigenschaft \(A\) und Eigenschaft \(B\) sind gleichwertig. (2) Sämtliche Binomialkoeffizienten einer Teilbarkeitsfolge mit der Eigenschaft \(A\) oder mit der Eigenschaft \(B\) sind ganze Zahlen.