Pillai's exact formulae for the number \(g (n)\) in Waring's problem. (Q2609156)

\textit{Pillai} hatte mit \(l = \left[\left(\dfrac32\right)^n\right]\) die Formel \[ g(n) = 2^n+l-2 \tag{1} \] für \(8 \leqq n \leqq 100\) durchweg, für \(n > 100\) unter der Voraussetzung \[ (l + 1)\cdot 2^n - 3^n \geqq l + 3 \] bewiesen. Verf. teilt nun mit, daß \textit{Pillai} die Formel (1) inzwischen auch für \(n = 7\) gewonnen und außerdem den folgenden Satz bewiesen hat: Ist \[ (l+1)\cdot 2^n -3^n\leqq l-1, \] so ist mit \(j = \left[\left(\dfrac43\right)^n\right]\) \[ \begin{aligned} &g(n) = 2^n+l+ j - 2\quad \text{für}\quad 4^n - j\cdot 3^n\geqq l\cdot2^n,\\ &g(n) = 2^n+ l+ j - 3\quad \text{für}\quad 4^n - j\cdot 3^n < l \cdot 2^n. \end{aligned} \] Insbesondere ist damit \(g (n)\) für jedes gerade \(n\geqq8\) bestimmt. (Vgl. die vorstehend besprochenen Arbeiten.)