On a relation between two conjectures of the theory of numbers. (Q2609168)

Es sei \(r_{k,s}(n)\) die Anzahl der Darstellungen der natürlichen Zahl \(n \) als Summe von \(s\) nichtnegativen \(k\)-ten Potenzen ganzer Zahlen. Für \(k\ge 5\) ist es unbekannt, ob \[ r_{k,k}(n)=O\left(n^{1-\tfrac2k}\right) \] ist. Erst recht ist es bei festem \(k \geqq 5\) und festem \(s\) mit \(0 < s \le k - 3\) unbekannt, ob \[ r_{k,k}(n)=O\left(n^{\frac sk}\right) \] ist. Gezeigt wird: Wenn diese Abschätzung falsch ist, so hat die Gleichung \[ \sum_{m=1}^{k-s} x_m^k = \sum_{m=1}^{k-s} y_m^k \] eine nichttriviale Lösung in natürlichen Zahlen \(x_m\), \(y_m\).