Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie. (Q2609171)

Verf. bespricht zunächst die von \textit{Schnirelmann} herrührende Bezeichnung. Bei gegebenen Mengen nichtnegativer ganzer Zahlen \(A\) und \(B\) versteht man unter \(A + B \) die Menge aller Elemente \(a + b\) von Elementen \(a\) von \(A\) und Elementen \(b\) von \(B\). Unter \(hA\) sei \[ A + A + \cdots+A \] (\(h\)-mal) verstanden. Betrachtet werden nur Mengen mit null als Element. Die Fragestellung liegt nun darin, bei einer gegebenen Zahlenmenge \(\varGamma\) und gegebenem \(h\) Zahlenmengen \(A\) mit folgenden Eigenschaften zu bilden: \vskip0.5ex \line{\rlap{\indent(1)}\hss \(\varGamma\leqq hA\).\hss} (2) \(A\) enthält möglichst wenig Elemente bzw. möglichst wenig Elemente unter einer gegebenen natürlichen Zahl \(n\). Die Frage wird für folgende Fälle besprochen: \((A)\) \(\varGamma =\varOmega = \text{Menge}\) aller natürlichen Zahlen einschließlich null. \((B)\) \(\varGamma=N\), \(N\) die Menge \(1,\,2,\,\ldots,\, n\). Ist (1) erfüllt, so heißt \(A\) eine Basis \(h\)-ter Ordnung für \(\varGamma\). Ist im Falle \((B)\) auch (2) erfüllt, so heißt \(A\) eine Minimalbasis \(h\)-ter Ordnung für \(n\). In \S~1 wird bewiesen: Die Anzahl \(k_m\) einer Minimalbasis zweiter Ordnung für \(n\) erfüllt \[ k_m < 2\sqrt n. \] Erwähnt sei: Im Beweis kommen symmetrische Zahlensysteme vor, gebildet durch der Größe nach geordnete nichtnegative ganze Zahlen \(a_1,\, a_2,\, \ldots,\,a_k\), so daß mit \(a_\varkappa\) (\(\varkappa\leqq k\)) auch \(a_k - a_\varkappa\) zum System gehört. In \S~2 beweist Verf.: Bei gegebenem \(\varepsilon >0\) gibt es eine natürliche Zahl \(n_0(\varepsilon)\), so daß für die Anzahl \(k(n)\) einer Minimalbasis zweiter Ordnung von \(\varOmega\) unterhalb einer natürlichen Zahl \(n\) sich \[ k(n)<n^{\frac12+\varepsilon} \] ergibt, falls \(n\geqq n_0(\varepsilon)\) ist. In \S~3 wird im Gegensatz zu \S~1 die Größe \(k_m\) nach unten abgeschätzt. Es bleibt: \[ k_m \geqq \sqrt2 \sqrt n. \] Oder: Für eine Basis zweiter Ordnung von \(k\) Elementen gilt \[ n\leqq\frac{k^2}2. \] In \S~4 wird für den Fall, daß alle Basiselemente \({}\leqq\left[\dfrac{n+1}2\right]\) sind, durch neue Methoden dies Ergebnis für hinreichend große \(k\) auf: \[ n < 0{,}4654\;k^2 \] verschärft. Die Methoden des \S~4, im \S~5 für den allgemeinen Fall angewandt, ergeben das im Vergleich zu \S~3 nur unbedeutend verbesserte Resultat: \[ n < 0{,}4992\;k^2. \] In \S~6 wird beliebiges \(h\) herangezogen (bisher war stets \(h = 2\)). Es ergibt sich \[ k_m <h\root h\of n \] in genauer Verallgemeinerung des Ergebnisses von \S~2. Hierbei wird eine Basis \(h\)-ter Ordnung \(S_h\) für die, wie folgt, rekursiv definierte Zahl \(d_{h+1}- 1\) konstruiert: Seien \(x_1,\,\ldots,\, x_h\) gegebene natürliche Zahlen, \[ d_1 = 1,\quad d_\nu = \sum_{i=1}^{\nu-2} x_i d_i + (x_{\nu-1} + 1), \] so besteht das System \(S_h\) aus den \(1 + x_1 + \cdots + x_h\) Elementen: erstens null, zweitens die folgenden \(\displaystyle\sum\limits_{j=1}^h x_j\) Elemente: \[ \sum_{\nu=1}^{j-1} x_\nu d_\nu +z_jd_j, \] hierbei durchläuft \(j\) die Werte \(1,\, 2,\,\ldots,\,h\), \(z_j\) die Werte \(1,\,2,\,\ldots,\,x_j- 1,\, x_j\) (leere Summen sind mit null einzusetzen). In \S~7 wird gezeigt, daß die Basis \(S_h\) auch eine erweiterte Basis \(h\)-ter Ordnung für die letzte Basiszahl ist, d. h. jede natürliche Zahl, höchstens gleich dieser Basiszahl, gestattet eine Darstellung durch \(l\) positive und \(h - l\) negative Summanden mit dem Absolutbetrag in \(S_h\), sofern nur \(0 < l \leqq h\) gilt. Zuletzt in \S~8 folgt die Erweiterung des Satzes in \S~2 für beliebige \(h\): Sind \(n_0(\varepsilon)\) und \(k (n)\) wie dort definiert, so bleibt \[ k(n)<n^{\tfrac1h+\varepsilon} \] für \(n\geqq n_0(\varepsilon)\).