Über die Permutationen der Galoisschen Gruppe einer Gleichung. (Q2609194)

Gegeben sei ein algebraischer Zahlkörper \(\mathbf P(\vartheta)\) mit dem zugehörigen Normal\-körper \(\varGamma(\vartheta)\), und es sei die Primidealzerlegung eines regulären Diskriminantenteilers \(p\) bekannt. Hieraus leitete Verf. in seiner Arbeit ``Zur Theorie der affektlosen Gleichungen'' (Math. Ann. 111 (1935), 738-742; F. d. M. \(61_{\text{II}}\), 1008) für die \textit{Galois}sche Gruppe die Existenz einer bestimmten Permutation \(P\) her, für die er eine Darstellung angab. Die einer hiermit in engem Zusammenhang stehenden Substitution \(A\) der Zerlegungs\-gruppe \(\mathfrak Z\) des Primideals \(\mathfrak P\) von \(p\) in \(\varGamma(\vartheta)\) zugeordnete Permutation der \textit{Galois}schen Gruppe von \(\varGamma(\vartheta)\) wird in dieser Arbeit in Zyklen zerlegt. Daran schließt sich eine Fülle von Anwendungen, die aus Raummangel hier nicht alle wiedergegeben werden können. Es seien nur die folgenden Sätze erwähnt: (1) Dann und nur dann ist für einen regulären Diskriminantenteiler \(p\) die Zer\-legungsgruppe abelsch, wenn \(p\equiv1\; (\bmod \{e_1,e_2,\dots, e_k\})\) bei \(p =\mathfrak p_1^{e_1}\mathfrak p_2^{e_2}\dots\mathfrak p_k^{e_k}\) gilt. (2) Zerfällt in einem Körper vom Primzahlgrad \(l\) der reguläre Diskriminantenteiler \(p\) in der Form \[ p=\mathfrak p^l, \] so enthält die \textit{Galois}sche Gruppe eine Permutation, die aus einem Zyklus erster Ordnung und sonst aus Zyklen \(t\)-ter Ordnung besteht, wo \(p \bmod l\) genau zum Exponenten \(t\) gehört. Außerdem ist die Ordnung der \textit{Galois}schen Gruppe durch \(l\cdot t\cdot (nl + 1)\) teilbar.