A theorem of Carleman. (Q2609256)

Durch Betrachtungen, die nahe verwandt sind mit denjenigen, welche Verf. auf eine Gruppe ähnlicher Sätze \textit{Tauber}scher Art angewandt hatte, wird der folgende Satz von \textit{Carleman} (8. Skand. Math. Kongr. Stockholm 1934 (1935), 34-44; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 526) bewiesen: Sei \[ a_n>0,\;\lambda_{n+1}>\lambda_n,\qquad (n =1,2,3,\dots). \] Aus \[ x{\sum\limits_{\nu=1}^{\infty}}\frac{a_\nu}{\lambda_\nu+x}= A\log x+B+O\big(e^{-\alpha\sqrt x}\big)\quad\;(\alpha > 0) \] folgt \[ {\sum\limits_{x<\lambda_n<x+x^{\frac12+\delta}}}a_n\sim Ax^{\delta-\frac12}\;\text{ mit }\;0 <\delta <\tfrac12\;\text{ bei }\;x\to\infty. \]