Über einen Satz von H. Heilbronn und E. Landau. (Q2609257)

Es sei \[ F(s) ={\int\limits_{0}^{\infty}}e^{-su} K (u)\, du\qquad (s = \sigma + it) \tag{1} \] (\(K(u)\) reell) konvergent für \(\sigma > 0\). Verf. beweist: I. Falls für ein \(\sigma_0 > 0\) und jedes \(\lambda >0\) \[ |\mathfrak RF(s)|<M\;\text{ für }\;0 < \sigma < \sigma_0,\quad |t|< 2\lambda \tag{2} \] und für ein \(c\geqq0\) \[ \liminf_{u\to\infty}\operatornamewithlimits{Min}_{u\leqq u'\leqq u+h} e^{-cu}\big\{e^{cu'}K(u') - e^{cu}K(u)\big\}=-w(h)<0 \tag{3} \] mit \(w(h)\to0\), falls \(h\to0\), so ist \[ \limsup_{u\to\infty}|K(u)|<\varOmega(\lambda), \] wo \(\varOmega(\lambda)\to0\) für \(\lambda\to\infty\). Von \textit{H. Heilbronn} und \textit{E. Landau} wurde dasselbe Resultat erhalten (Math. Z. 27 (1933), 10-16; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 252) unter den mehr einschränkenden Bedingungen: (a) falls \(\sigma\to0\), konvergiert \(F (s)\) für \(|t|<\lambda\) gleichmäßig (statt (2)); (b) \(e^x(K(x) + 1)\) ist nicht abnehmend \(\big(\)statt (3)\(\big)\) (und für \textit{Dirichlet}sche Reihen statt Integrale). II. Falls \[ K(0) = 1,\;K (u') - K (u) > - 1\;\text{ für }\;0\leqq u\leqq u'\leqq u+ 1 \] und (2) gilt, so ist \(K(u) = O(1)\), falls \(u\to\infty\).