Sur une fonction non mesurable, partout presque symétrique. (Q2609269)

Eine Funktion \(f(x)\) heißt fast symmetrisch im Punkt \(a\), wenn \(f(a + x) = f(a - x)\) gilt für alle \(x\) ausgenommen höchstens eine Menge von einer Mächtigkeit \(< 2^{\aleph_0}\). Hier wird nun die Existenz einer Funktion \(f(x)\) gezeigt, die nicht meßbar und fast symmetrisch für jeden Punkt \(a\) ist. Die Funktion \(f(x)\) wird mit Verwendung des Wohlordnungssatzes als charakteristische Funktion einer entsprechenden Menge erhalten. Aus diesem Satz folgt weiter die Existenz einer nicht meßbaren Funktion, welche überall approximativ symmetrisch im weiteren Sinn ist, sowie die einer nicht meßbaren Funktion, welche überall eine approximativ symmetrische Ableitung gleich 0 im weiteren Sinn hat (Verf., Fundam. Math., Warszawa, 4 (1923), 124-127, 167-171; F. d. M. 49, 179 (JFM 49.0179.*), 147). Die beiden letzteren Existenzbeweise werden schließlich (nach \textit{Ruziewicz}) auch mit Hilfe der Basis von \textit{Hamel} erbracht.