Sur les fonctions continues qui prennent chacune de leurs valeurs au plus \(\aleph_0\) fois. (Q2609276)

Ist \(f(x)\) eine in \((0,1)\) stetige Funktion, die jeden ihrer Werte höchstens \(\aleph_0\)-mal annimmt, so enthält jedes Intervall ein Teilintervall, in dem \(f(x)\) monoton ist. Das ergibt sich aus dem folgenden Satz des Verf.: Wenn \(f(x)\) die \textit{Darboux}sche Eigenschaft hat und wenn jede der Mengen \(\underset {x} E[f(x) = c]\) separiert ist, so enthält jedes Intervall ein Teilintervall, in dem \(f(x)\) monoton ist. Die Familie aller stetigen Funktionen, die jeden ihrer Werte höchstens \(\aleph_0\)-mal annehmen, ist also von erster Kategorie in dem Raum aller stetigen Funktionen mit der Metrik \[ (f,g)= \operatornamewithlimits{Max}\limits_{0\leqq x\leqq 1} |f(x)-g(x)|. \] (Vgl. hierzu: \textit{S. Banach}, Studia math., Lwów, 3 (1931), 174-179; JFM 57.0305.*-306.)