Sulla deduzione dei teoremi di de L'Hospital dai teoremi di Stolz. (Q2609301)

Als ``verallgemeinerte \textit{Stolz}sche Sätze'' bezeichnet Verf. die folgenden: Konvergieren die Folgen \(a_n\), \(b_n\) gegen null und ist \(b_n\) monoton, so ist \[ \liminf \frac{a_n-a_{n+1}}{b_n-b_{n+1}} \leqq \liminf \frac{a_n}{b_n} \leqq \limsup \frac{a_n}{b_n} \leqq \limsup \frac{a_n-a_{n+1}}{b_n-b_{n+1}}. \] Ist die Folge \(b_n\) monoton und divergent, so ist für jede Folge \(a_n\) \[ \liminf \frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}} \leqq \liminf \frac{a_n}{b_n} \leqq \limsup \frac{a_n}{b_n} \leqq \limsup \frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}. \] Auf Grund dieser Sätze beweist Verf. den ``verallgemeinerten \textit{de L'Hospital}schen Satz'': Sind \(f(x)\) und \(\varphi(x)\) stetig im Intervall \(C\) und differenzierbar im Innern von \(C\), ist ferner \(\varphi'(x)\) im Innern von \(C\) von null verschieden und streben endlich \(f(x)\) und \(\varphi(x)\) gegen null oder divergiert \(\varphi(x)\) in einem Endpunkt von \(C\), so ist \[ \liminf \frac{f'(x)}{\varphi'(x)} \leqq \liminf \frac{f(x)}{\varphi(x)} \leqq \limsup \frac{f(x)}{\varphi(x)} \leqq \limsup \frac{f'(x)}{\varphi'(x)}. \]