The asymptotic developments of functions defined by MacLaurin series. (Q2609354)

Die Schrift behandelt die Frage nach dem Verhalten einer durch ihre Potenzreihenentwicklung bei \(z = 0\) gegebenen analytischen Funktion \[ f(z)=\sum_{n=0}^\infty \gamma_n z^n \tag{1} \] im Unendlichen (wofern man überhaupt \(f(z)\) dorthin fortsetzen kann); und zwar werden solche Fälle betrachtet, wo sich dieses Verhalten durch asymptotische Entwicklungen in Winkelräumen beschreiben läßt. Trotz der scheinbaren Enge dieser Fragestellung erscheint sie doch vom Standpunkt der Theorie der analytischen Fortsetzung, der spezielleren Theorie der ganzen Funktionen und der linearen Differentialgleichungen von erheblichem Interesse. Der Grundgedanke ist durch das ganze Buch der gleiche: Übergang zu einer Integraldarstellung, die je nach der Wahl des Integrationswegs die Glieder der gegebenen Reihe bzw. einer Entwicklung nach Potenzen von \(z^{-1}\) als Residuen hervorbringt; gewisse Restintegrale müssen dann für sich entwickelt bzw. abgeschätzt werden. Als Vorgänger in diesem Gedankengang werden \textit{Lindelöf} (Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions (1905; F. d. M. 36, 468 (JFM 36.0468.*)), insbesondere Kap. V) und \textit{Barnes} (vor allem Philos. Trans. R. Soc. London A 206 (1906), 249-297; F. d. M. 37, 427 (JFM 37.0427.*)) erwähnt; wir fügen den Namen \textit{Mellin} hinzu (vor allem: Die Theorie der asymptotischen Reihen vom Standpunkte der Theorie der reziproken Funktionen und Integrale, Ann. Acad. Sci. Fennicae A 18 (1922), Nr. 4), zu dem enge Beziehungen bestehen: die Integraldarstellung des Kap. I (S. 8, Formel (29) für \(l = 0\) -- was zwar im Text ausgeschlossen, aber zulässig ist --) ist -abgesehen von der Bezeichnung -- von \textit{Mellin}s Typ \[ f(z)=\frac1{2\pi i}\int\limits_{z-i\infty}^{x+i\infty} F(w)z^w dw \qquad (w=x+iy): \tag{2} \] Transformation \(\mathfrak M^{-1}\) in der Bezeichnungsweise des inzwischen erschienenen \textit{Doetsch}schen Buches: Theorie und Anwendung der Laplacetransformation (1937; F. d. M. \(63_{\text I}\), 368), insbes. 6. 8 und 14. 1. Der Unterschied besteht in der Hauptsache darin, daß bei \textit{Mellin} in dem für unseren Zusammenhang in Betracht kommenden Falle (a. a. O. Kap. 3, vor allem gegen Ende) bei gegebenem, meromorphem und einer geeigneten Abschätzung genügendem \(F(w)\) auf asymptotische Entwicklungen von \(f(z)\) bei 0 und \(\infty\) in Winkelräumen geschlossen wird, während hier zu gegebener (konvergenter) Reihe bei 0 erst \(F(w)\) hinzukonstruiert, alsdann auf die Darstellung bei \(\infty\) geschlossen wird. Dazu wird im Hauptfall angenommen, daß die ganze Funktion \(g(w)\) für die ganzzahligen Werte \(w = n \geqq 0\) die Koeffizienten in (1) in der Form liefert: \(\gamma_n=(-1)^ng(n)\), und so beschaffen ist, daß für \(x > x_0\) und \(\varepsilon > 0\) allemal \[ |g(w)|<K(x_0,\varepsilon)e^{(\gamma+\varepsilon)|y|}\qquad (0\leqq\gamma<\pi). \tag{3} \] \(F(w) =\dfrac{\pi g(w)}{\sin \pi w}\) erfüllt dann (2) bei \(- 1< x < 0\) (im Texte ist \(x = \frac12\)) und die \textit{Mellin}sche Bedingung \[ F(w) = O(e^{-(\pi-\gamma-\varepsilon)|y|}) \qquad \text{für }\;|y|\to\infty \] in einem Streifen parallel zur \(y\)-Achse; es wird \(f(z)\sim\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}g(-n)z^{-n}\) für \(z\to\infty\) in jedem Sektor \(|\operatorname{arc} z|\leqq\pi-\gamma-\delta\). -- Bei Zulassung von Singularitäten für \(g(w)\) sind weitere Integralbestandteile zu berücksichtigen (Residuen oder Schleifenintegrale). Zur Behandlung der letzteren dient im Kap. II ein Satz über \textit{Laplace}transformation; \(g(w)\) wird dabei an den (endlich vielen) Singularitäten \(w = w_0\) als multiplikativ \(\Biggl(\)von der Form \(\sum\limits_{m=0}^\infty c_m(w-w_0)^{m+\alpha}\Biggr)\) vorausgesetzt. Die Voraussetzungen ließen sich leicht wesentlich verallgemeinern. Kap. III behandelt den speziellen Koeffiziententyp \(g (n) = (n + \vartheta)^{-\beta}\), während in Kap. IV ein stärkeres Wachstum von \(g(w)\) zugelassen wird: \(\gamma=\pi\) in (3). Zugrundegelegt wird jetzt \[ \int\frac{I(w.z)}{\sin^2\pi w},\qquad \text{wo} \qquad I(w,z)=\int\limits_0^w z^wg(w)dw; \] es verbleibt ein Restintegral der Form \(\int\limits_{-l-\frac12}^\infty g(x)z^xdx\) (\(l>0\) ganz), zu dessen Bewältigung in Kap. V unter speziellen Annahmen über \(g(w)\) wie: \(g(w) = P(w)/\varGamma(w)\), wo \(P(w)\) in einer rechten Halbebene regulär und \(\to c\) auf jedem Halbstrahl eines (offenen oder abgeschlossenen) Winkelraums der Öffnung \(\pi\), mit ziemlichem Rechenaufwand Hilfssätze entwickelt werden. Diese werden in Kap. VI für das Koeffizientengesetz verwendet: \[ g(n)=\frac{h(n)}{\varGamma(n+p)}, \] wo \(g(w)\) ganz ist, \(h(w)\) eine asymptotische Fakultätenentwicklung (für \(w\to\infty\) in einer rechten Halbebene) besitzt, während in Kap. VII Reihen vom \textit{Bessel}schen Typ (Produkt von zwei Gamma-Funktionen im Nenner) behandelt werden. Im umfangreichen Kap. VIII handelt es sich um die Differentialgleichung \[ P_0(z)\frac{d^2y}{(d\log z)^2}+P_1(z)\frac{dy}{d\log z}+P_2(z)y=0, \] wobei die \(P_\nu (z)\) Polynome höchstens zweiten Grades sind, \(P_0 (0) \neq 0\). Es wird vorausgesetzt, daß im Endlichen keine Unbestimmtheitsstelle liegt. Alsdann wird eine bei null normierte Lösung ohne weitere Benützung der Differentialgleichung im Unendlichen asymptotisch dargestellt; durch Vergleich mit den (konvergenten oder asymptotischen) Darstellungen im Unendlichen normierter Lösungen erhält man die Fortsetzungsrelationen zwischen \(0\) und \(\infty\), deren Bestimmung ja selbst dann ein ernstes Problem ist, wenn es sich um eine Differentialgleichung vom \textit{Fuchs}schen Typ handelt. Um die im vorausgehenden entwickelten Hilfsmittel anwenden zu können, werden die Rekursionsformeln für die Koeffizienten der Entwicklungen am Nullpunkt als Differenzengleichungen für analytische Funktionen aufgefaßt, diese durch \textit{Laplace}transformation und Fakultätenreihen gelöst. Mit großer Sorgfalt werden die zahlreichen nötigen Fallunterscheidungen diskutiert, wie überhaupt im ganzen Buche alle Hilfsbetrachtungen in erfreulicher Ausführlichkeit und Klarheit dargelegt sind.