Sur les formules d'interpolation de Lagrange et de Newton. (Q2609356)

Die \textit{Lagrange}sche und die \textit{Newton}sche Interpolationsformel werden auf abzählbar viele Interpolationspunkte \(a_m\) mit den zugeordneten Werten \(A_m\) ausgedehnt und für dasselbe Wertsystem miteinander verglichen. Unter der Voraussetzung der Konvergenz von \(\sum\limits_{m=0}^\infty\dfrac1{|a_m|}\) ist bei \(L(x)=\prod\left(1-\dfrac{x}{a_m}\right)\) das \textit{Lagrange}sche Verfahren durch \[ \sum A_mL_m(x) \qquad \text{mit} \qquad L_m(x)=\frac{L(x)}{(x-a_m)(L'(a_m)}, \] das \textit{Newton}sche Verfahren durch \[ \sum B_mN_m(x) \quad \text{mit}\quad N_0(x)=1\quad\text{und}\quad N_m(x)= (x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_m) \] für \(m = 1, 2,\ldots\) dargestellt, wobei im letzten Fall die \(B_m\) die bekannten Koeffizienten der \textit{Newton}schen Formel sind. Es wird gezeigt: Die \(a_m\) seien reelle oder komplexe Werte derart, daß \(\sum\dfrac1{|a_m|}\) konvergiert. Dafür, daß die Konvergenz des \textit{Lagrange}schen Verfahrens die Konvergenz des \textit{Newton}schen Verfahrens einschließt, ist notwendig und hinreichend, daß die Folge \[ S_n=\sum_{m=1}^{n-1}|\varphi_n(a_m)-\varphi_n(a_{m+1})|+|\varphi_n(a_n)| \qquad\text{mit}\qquad \varphi_n(x)=\prod_{i=n+1}^\infty\left(1-\frac x{a_i}\right) \] beschränkt bleibt. Und zwar folgt unter diesen Bedingungen aus der Konvergenz des \textit{Lagrang}eschen Verfahrens für ein \(x\), das von jedem \(a_m\) verschieden ist, die Konvergenz der beiden Verfahren zum selben Werte für jedes \(x\) der komplexen Zahlebene. Weiter wird belegt, daß aus der Konvergenz des \textit{Newton}schen Verfahrens diejenige des entsprechenden \textit{Lagrange}schen Verfahrens nicht folgt. Die Indizesverwendung ist nicht einheitlich und gelegentlich verwirrend.