Sur la croissance des séries entières. (Q2609367)

Sei die Reihe \(f (z) = a_0 + a_1z + a_2z^2+\cdots\) in \(|z|<R\) (\(0 < R\leqq\infty\)) konvergent. Die vielfach untersuchten Beziehungen zwischen dem Anwachsen des Maximalbetrages \(M (r) = \max\limits_{|z|=r}|f(z)|\) und demjenigen der Folge \[ |a_0|,|a_1|, |a_2|,\ldots,|a_n|,\ldots \tag{1} \] behandelt Verf. mit einer einheitlichen Methode. Mittels des Maximalgliedes \[ m (r) =\max_{n\geqq 0} |a_n| r^n \] ergibt sich zunächst \[ m(r)\leqq M(r)\leqq m(r')\left(\frac1{1-\dfrac r{r'}}\right)\qquad (0\leqq r<r'<R). \tag{2} \] Die Beziehung zwischen \(m(r)\) und der Folge (1) untersucht Verf. mittels einer Hilfsfunktion \(g (x)\) (\(-\infty < x < \log R\)) mit stetiger und monoton wachsender Ableitung \(g'(x)\), für die \(\lim\limits_{x\to\log R} g'(x) = +\infty\). Ist \(x = h(y)\) die inverse Funktion von \(y=g'(x)\) und \(k(y)= y\cdot h(y)- g[h(y)]\), so besitzen nämlich die Funktion \(m(e^x)e^{-g(x)}\) und die Folge \(|a_n|e^{k(n)}\) in mancher Hinsicht ein gleichartiges asymptotisches Verhalten. Zum Beispiel gilt \[ \limsup_{x\to\log R-0} m(e^x) e^{-g(x)}= \limsup_{n\to\infty} |a_n| e^{k(n)}, \] wenn der Index des Maximalgliedes bei \(r\to R\) gegen \(+\infty\) strebt. Mittels (2) ergeben sich dann daraus die heute bekannten Beziehungen zwischen \(M(r)\) und der Folge (1).