Note on boundedly convergent power series. (Q2609378)

Es sei \[ f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n \] in \(|z|< 1\) regulär und daselbst \[ |f(z)|\leqq 1. \] Wie \textit{O. Szász} (Math. Z. 1 (1918), 163-183; F. d. M. 46, 479 (JFM 46.0479.*)) in Verallgemeinerung des bekannten \textit{Landau}schen Satzes über die Teilsummen von \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\) bewiesen hat, gilt dann für irgend zwei Zahlenfolgen \((\lambda_n)\) und \((\mu_n)\) mit \[ \left(\sum \lambda_n z^n\right)^2=\sum\mu_n z^n \] bei jedem \(n\) die Beziehung \[ \left|\sum_{\nu=0}^n\mu_{n-\nu}a_\nu\right|\leqq \sum_{\nu=0}^n|\lambda_\nu|^2. \] Verf. zeigt dazu, daß unter einer gewissen einschränkenden Voraussetzung über die Folge (\(\mu_n\)) \[ \sum_{\nu=0}^n|\lambda_\nu|^2\left|\sum_{\nu=0}^n\mu_{n-\nu}a_\nu\right| \to\infty\qquad \text{für} \;n\to\infty \] gilt.