Kontaktprobleme der konformen Abbildung. (Q2609389)

Unter einem \(n\)-fach zusammenhängenden Kontaktbereich versteht Verf. einen Bereich, der von \(n\) einfach geschlossenen, außerhalb voneinander liegenden \textit{Jordan}kurven berandet wird, die sich jedoch gegenseitig berühren dürfen (dabei ist \(\infty\) immer als innerer Bereichpunkt angenommen). Ein solcher Bereich braucht also nicht zusammenhängend zu sein, er kann vielmehr aus verschiedenen Zellen bestehen, die in den Kontaktpunkten zusammenstoßen. Es handelt sich nun um das Problem der konformen und kontakttreuen Abbildung eines solchen Bereiches auf einen anderen, d. h. um das Problem der konformen Abbildung auf einen nach dem gleichen topologischen Schema aufgebauten Bereich, derart, daß sich topologisch entsprechende Kontaktpunkte bei der konformen Abbildung gemäß der Ränderzuordnung als Bilder entsprechen. Speziell wird die Aufgabe behandelt, einen beliebig gegebenen Kontaktbereich auf einen Kontaktkreisbereich abzubilden, d. h. auf einen Kontaktbereich, dessen Randkurven Kreise sind. Der Begriff des (zulässigen) Kontaktbereiches muß daher so eng gefaßt werden, daß seine topologische Verwirklichung als Kontaktkreisbereich nicht von vornherein ausgeschlossen ist (z. B. muß also zweimalige Berührung zweier Randkurven ausgeschlossen sein). Es wird ein Unitäts- und ein Existenzsatz für diese Abbildung bewiesen (wobei die Daten des Kreisbereiches, abgesehen von seiner Struktur, von vornherein offen sind und sich zwangsläufig aus denen des gegebenen Bereiches ergeben). Der Beweis des Unitätssatzes geschieht wie beim gewöhnlichen Kreisnormierungsprinzip durch fortgesetzte Spiegelung zweier als verschieden, aber konform aufeinander bezogen vorausgesetzter Kontaktkreisbereiche an den Randkreisen und an ihren sukzessiven Spiegelbildern, wobei man bei passender Normierung eine in der ganzen Ebene reguläre schlichte Funktion erhält, die also die identische Abbildung vermittelt. Der Existenzbeweis wird erbracht, indem der Kontaktbereich als Grenzfall eines gewöhnlichen \(n\)-fach zusammenhängenden Bereiches angesehen wird, der aus jenem durch Überbrückung der Kontaktstellen entsteht. Auf diesen Näherungsbereich wird das Kreisnormierungsprinzip angewendet, und beim Grenzübergang erhält man einen Kontaktkreisbereich. Dabei ist besonders darauf zu achten, daß beim Grenzübergang keine der Zellen auf einen Punkt zusammenschrumpft; dieser Fall würde eintreten, wenn man von einem ``unzulässigen'' Kontaktbereich ausginge. Endlich wird noch die Frage nach der Anzahl der ``Moduln'' der Kontaktbereiche behandelt, d. h. nach der Anzahl der Parameter, die eine Klasse von konform äquivalenten \(n\)-fach zusammenhängenden Kontaktbereichen festlegen. Zu jedem \(n\) gibt es einen Maximaltypus; das ist der Typus, bei dem die Höchstzahl der möglichen Berührungen auftreten, bei dem also am Rande jeder Zelle drei Kontaktpunkte liegen. Dieser Typus ist modulnfrei: je zwei Repräsentanten sind konform und kontakttreu aufeinander abbildbar. Als Spezialfall der obigen Sätze ergibt sich so der interessante Satz: Die Aufgabe, auf der Kugeloberfläche \(n\) Kreisflächen, deren Größe unbekannt bleibt, nebeneinander ohne gegenseitige Überdeckung so zu lagern, daß sie ein durch ein beliebiges gewöhnliches Triangulationsschema vorgeschriebenes Kontaktschema erfüllen (Schließungsproblem), gestattet immer eine und, abgesehen von einer Kreisverwandtschaft, nur eine Lösung. -- Die Abzählung der Moduln für andere Fälle wird schließlich an zwei das Wesentliche hinlänglich verdeutlichenden Beispielen erläutert.