Ordnung und Nullstellen bei ganzen Funktionen zweier Veränderlicher. (Q2609397)

Um die Verteilung der Nullstellen einer ganzen Funktion \(f(w,z)\), die ja nicht, wie in der klassischen Theorie, isoliert liegen, sondern zweidimensionale analytische Flächen ausfüllen, zu messen, führt Verf. zwei Dichtemaße ein, die beide den bei einer Veränderlichen bekannten Grenzexponenten verallgemeinern. Es sei \(H (a, \overline{a})\) eine positiv-definite \textit{Hermite}sche Form; ferner durchlaufe \(\alpha (a, b)\) alle Nullstellen der Funktion \(f(at, bt)\) von \(t\). Dann versteht Verf. unter der \textit{Strahlendichte} \(\varrho_1\) die untere Grenze der Werte \(\mu\), für die \[ S_\mu (a,b) = H(a,\overline{a})^{-\tfrac{\mu}{2}}\cdot \sum |\alpha (a,b)|^{-\mu} \] konvergiert; dabei durchlaufe \(a\), \(b\) alle Wertpaare, und es sei \(f(0, 0)\neq 0\). Die \textit{Flächendichte} \(\varrho_2\) wird eingeführt als untere Grenze der Werte \(\mu\geqq 0\), für die das Integral über die Nullstellenflächen \(\mathfrak{R}\) \[ \iint\limits_{\mathfrak{R}} h^{-\frac{\mu}{2}-1}do \] konvergiert. Die \textit{Ordnung} \(\varrho\) wird entsprechend wie in der klassischen Theorie definiert. Dann beweist Verf.: (1) Die Nullstellendichten einer Funktion endlicher Ordnung sind nicht größer als die Ordnung. (2) Zu einer Nullstellenfläche endlicher Dichten gibt es eine kanonische ganze Funktion, deren Ordnung die größere der beiden Dichten nicht übertrifft. (3) Eine ganze Funktion endlicher Ordnung unterscheidet sich von der kanonischen mit der gleichen Nullstellenfläche höchstens durch einen Faktor, dessen Logarithmus ein Polynom von nicht größerem Grad als die Ordnung von \(f(w, z)\) ist.