The elements of the theory of functions of a real variable with values belonging to a semi-ordered linear space. (Q2609444)

Die Funktionen einer reellen Veränderlichen \(t\) (\(a\leqq t\leqq b\)) mit Werten aus einem linear halbgeordneten Raum \(Y\) unterteilt Verf. in die Klasse \(C\) der stetigen, in die Klasse \(A\) der absolut stetigen Funktionen, in die Klasse \(V\) der Funktionen beschränkter Variation, in die Klasse Lip\(^1\) der einer \textit{Lipschitz}bedingung genügenden Funktionen. Zur Definition der Klasse \(A_2\) dient die Funktion \[ m_2\,(y_1,\ldots,y_n)= \sup _{\xi _1^2+\cdots +\xi _n^2=1}\;(\xi _1y_1+\cdots +\xi _ny_n),\;\;y_\nu \subset Y,\;\;\xi _\nu \text{ reell} \] \(\bigl(\)ist \(Y\) die Zahlgerade, so ist \(m_2\,(y_1,\ldots,y_n) = (y_1^2 +\cdots +y_n^2)^{\frac {1}{2}}\bigr) : f\subset A_2\), wenn \[ \sup _{a=t_0<t_1<\cdots <t_n=b}\;m_2 \Biggl(\frac {f(t_1)-f(t_0)}{\sqrt {t_1-t_0}}, \ldots,\frac {f(t_n)-f(t_{n-1})}{\sqrt {t_n-t_{n-1}}}\Biggr) \] endlich ist. Eine ``ideale'' Funktion \(f(t)\) liegt vor, wenn ihr Mittelwert \(\dfrac {F(\beta )-F(\alpha )}{\beta -\alpha }\) für jedes Teilintervall \((\alpha,\beta )\) bekannt ist \(\bigl(F(t)\) heißt ``darstellende'' Funktion von \(f(t)\bigr)\); \(f\) ist von der Klasse \(S\), \(\widetilde M\), \(L\) oder \(L_2\), je nachdem \(F\) in \(V\), Lip\(^1\), \(A\) oder \(A_2\). Es wird der Konvergenzbegriff für die verschiedenen Klassen betrachtet. \( J = \int\limits _a^b f(t)g(t)\,dt\) wird für \(f\subset S\), \(L\), \(L^2\), \(\widetilde M\), \(C\) bzw. \(g\subset C\), \(\widetilde M\), \(L^2\), \(L\), \(S\) (\(g\) reell) erklärt als \textit{Hellinger}-Integral \( \int\limits _a^b \frac {dF(t)dG(t)}{dt}\) und ist bei festem \(f\) (aus \(S\), \(L\), \(L^2\), \(\widetilde M\)) eine lineare Operation, welche den Baum der reellen Funktionen der Klasse \(C\), \(\widetilde M\), \(L^2\), \(L\) in den Raum \(Y\) abbildet; es ist die allgemeine Form einer solchen Operation. Es gelten die Hauptsätze über Vertauschbarkeit von Integration und Grenzübergang. Verf. betrachtet ferner lineare Operationen, die mit der Integration vertauschbar sind, und skizziert schließlich die Theorie der Reihenentwicklung nach Folgen orthogonaler Funktionen.