Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires. (Q2609448)

Das Lemma lautet: Es sei \(p (x)\) ein Funktional in einem normierten linearen vollständigen Raume \(E\) mit den Eigenschaften: \ (I) \(p (x)\geqq 0\), \(p(x + y)\leqq <p(x) + p(y)\), \(p(\alpha x) =|\alpha |p (x)\); \ (II) \(p (x)\) ist unterhalb-stetig. Dann ist \(p (x)\leqq M\,\| x\|\), wo \(M\) eine Konstante. Dieser Satz kann für die Beweise vieler Sätze der Theorie der linearen Räume als bequemer Ausgangspunkt benutzt werden, was an zahlreichen Beispielen gezeigt wird. (Unter anderen: Die obere Grenze einer Folge stetiger, konvexer (siehe (I)) Funktionale ist stetig und konvex. Existiert in einem separablen \(E\) für alle \(x \subset E\) der Wert \(\int\limits_0^1|f_t(x)|^p\,dt = F (x)\) (\(p\geqq 1\)), so gilt \(F(x) \leqq M^p\,\| x\| ^p\), \(M\) eine Konstante. Ist \(\varphi _t(x)\) in bezug auf \(t\) von schwach beschränkter Variation Var \(\varphi _t(x) =\varPhi (x)\), dann ist diese stetig und konvex.)