On Fourier transforms in \(L^p\) in the complex domain. (Q2609472)

In dieser Arbeit werden die Resultate von \textit{Paley} und \textit{Wiener}, Fourier transforms in the complex domain (1934; JFM 60.0345.*) für Funktionen aus \(L^p\) übertragen auf Funktionen aus \(H^p\,L^p\) (in der Terminologie von \textit{A. C. Offord}, Trans. Amer. math. Soc. 38 (1935), 250-266; JFM 61.0445.*). 1.Gehört \(f (u)\) zu \(L^p\) in jedem endlichen Intervall und ist \[ f(u) = O(e^{-\lambda |u|} K (u)) \text{ \;für \;} | u |\to\infty, \] wo \(K (u)\) zu \(L^p\) \((-\infty,\infty )\) gehört, so gehört \(f (u)\) zu \(H^p\,L^p\) für \(p\geqq 2\). 2. Gehört die in einem Streifen analytische Funktion \(F (s)\) gleichmäßig zu \(L^p\) im Streifen und zu \(H^p\) auf den Rändern, dann läßt sich \(F (s)\) im Innern durch das \textit{Cauchy}sche Integral ausdrücken und gehört im Streifen zu \(H^p\,L^p\). 3. Die Klasse der ganzen Funktionen vom Exponentialtyp, die auf der reellen Achse zu \(H^p\,L^p\) gehören, ist identisch mit der Klasse der ganzen Funktionen von der Form \[ F(s) = \int\limits _{-A}^A e^{isu} f(u)\,du, \] wo \(f(u)\) in \((- A, A)\) zu \(L^p\) gehört. 4. Eine nicht identisch verschwindende ganze Funktion \(F (z)\) mit \[ \lim _{r\to\infty }\,\frac {1}{r}\;\overset{_+}{\log }\,|F(re^{i\varphi })|=0 \] kann auf keiner Geraden zu \(H^p\,L^p\) gehören.