Über Systeme von nichtlinearen Integralgleichungen. (Q2609511)

Die Funktionen \[ K_{ij}(s,t)\qquad (0\leqq s, t\leqq1; i, j = 1, 2,\ldots, n) \] seien stetig, es gelte \[ K_{ij}(s,t) = K_{ji}(t,s), \] und für beliebige stetige Funktionen \(\varphi_1(s), \varphi_2(s),\ldots, \varphi_n(s)\) sei \[ \sum\limits_{i,j=1}^n\int\limits_0^1\int\limits_0^1 K_{ij}(s,t)\varphi_i(s)\varphi_j(t) dsdt \geqq 0. \] \(F(s, u_1, u_2,\ldots, u_n)\) besitze für \(0\leqq s\leqq1\) und alle \(u_1, u_2,\ldots, u_n\) stetige partielle Ableitungen. \(C\) und \(K\) seien positive Konstante und \(K\) kleiner als der kleinste Eigenwert der Kernmatrix. Ferner gelte für alle Werte der Veränderlichen \[ F(s, u_1, u_2,\ldots, u_n)\geqq-\dfrac{K}2(u_1^2+u_2^2+\cdots+ u_n^2)- C. \] Dann hat das Gleichungssystem \[ \psi_i(s) + \sum\limits_{j=1}^n\int\limits_0^1 K_{ij}(s,t)\dfrac{\partial}{\partial u_j}F(t, \psi_1(t),\ldots, \psi_n(t)) dt = 0 \qquad (i = 1,2,\ldots,n) \] mindestens ein Lösungssystem \(\psi_1(s), \psi_2(s),\ldots,\psi_n(s)\). Nur eines ist vorhanden, wenn für alle Werte der Veränderlichen der kleinste Eigenwert der Matrix \[ \bigg(\dfrac{\partial^2}{\partial u_i\partial u_j} F(s, u_1, u_2,\ldots, u_n)\bigg) \] nicht kleiner als -- \(K\) ist. Der Beweis beruht auf einem vom Verf. (Math. Z. 39 (1934), 45-75; JFM 60.0319.*) bereits zu ähnlichem Zweck benutzten Satz über allgemeine Funktionalgleichungen. Für die Kerne \(K_i(s, t)\) \((i = 1, 2,\ldots, n)\) sollen die in der Theorie der linearen Integralgleichungen üblichen Annahmen gelten. Die Funktionen \(f_i(s, u_1, u_2,\ldots, u_n)\), \(g_i(s)\) seien stetig und besitzen stetige Ableitungen nach \(u_i\) \((i = 1, 2,\ldots, n)\). Man setze \[ \int\limits_0^1\int\limits_0^1 K_i^2(s,t) dsdt = K_i^2. \] Für alle \(u_i\) und \(0\leqq s\leqq1\) sei \[ \sum\limits_{i,j=1}^n K_i^2\dfrac{\partial}{\partial u_j} f_i(s,u_1,u_2,\ldots,u_n)\leqq K^2<1. \] Das System \[ \psi_i(s) + \int\limits_0^1 K_i(s,t) f_i(t,\psi_1(t),\psi_2(t),\ldots,\psi_n(t)) dt = g_i(s)\qquad (i = 1, 2,\ldots, n) \] hat genau eine Lösung \(\psi_1(s),\psi_2(s),\ldots,\psi_n(s)\). Der Beweis stützt sich auf den Satz über lokal umkehrbare Funktionaltransformationen von \textit{Caccioppoli} (Rend. Sem. mat. Univ. Padova 3 (1932), 126-153; JFM 58.0290.*). Definiert man den ``zusammengefügten Kern'' durch \[ K(s,t,u_1,u_2,\ldots,u_n) = K_j(s-i+1,t-j+1) \dfrac{\partial f_i}{\partial u_j}(s-i+1, u_1,u_2,\ldots,u_n) \] \[ \text{für}\;\begin{matrix} i-1\leqq s< i\\ j-1\leqq t< j\\ \end{matrix} \qquad (i, j = 1,2,\ldots,n),\;0\leqq s, t\leqq n. \] und ist für alle stetigen \(\varphi_1(s), \varphi_2(s),\ldots, \varphi_n(s)\) und quadratisch integrierbare \(\varphi(s)\) \((0\leqq s\leqq n)\) \[ \int\limits_0^n\int\limits_0^n K(s, t, \varphi_1(s),\ldots,\varphi_n(s)) \varphi(s)\varphi(t) dsdt \geqq -K\int\limits_0^n\varphi^2(s) ds\qquad (0 < K < 1), \] so hat das Gleichungssystem \[ \psi_i(s) + \int\limits_0^1K_i(s,t)f_i(t, \psi_1(t),\ldots,\psi_n(t))dt = 0 \] genau eine Lösung. Den Beweis führt Verf. durch Zurückführen auf ein unendliches Gleichungssystem für die Entwicklungskoeffizienten von \(\psi_i(s)\).