Mémoires sur la théorie des systèmes des équations différentielles linéaires. Vol. III. (Q2609577)

Für die Besprechung der früheren Bände (1934, 1935) vgl. JFM 60.0879.02, JFM 60.1101.03, JFM 61.1223.04. Band III enthält die Einzelarbeiten VIII--XIII sowie einen Anhang ``Varia''. VIII (Integralgleichungen und ihre Anwendung auf die Theorie der linearen Differentialgleichungen) enthält die Einzelausführungen zu der Note [C. R. Acad. Sci., Paris 192, 74--77 (1931; JFM 57.0513.01)]; auf das betreffende Referat kann bezüglich der Bezeichnungen und des Gedankengangs verwiesen werden. Es werden zunächst Hilfssätze über Matrizen-Integralgleichungen folgender Gestalt bewiesen: \[ F(\mathfrak U/x) = G(\mathfrak U/x) + \int\limits_c F(\mathfrak U/\xi)K(\mathfrak U/\xi x)\,d\xi \qquad(\mathfrak U = (U_1,\ldots U_m)), \] wo die gegebenen Matrizen \(G(\mathfrak U/x)\), \(K(\mathfrak U/\xi x)\) ganze Funktionen der \(m\) Unabhängigen \(U_1,\ldots, U_m\) sein sollen, mit in \(x\) bzw. \(x\), \(\xi\) längs der Kurve \(c\) regulären Koeffizienten. Für kleine Beträge der \(U_j\), ist die Methode der schrittweisen Näherungen anwendbar, während für beliebige \(U\) die \textit{Fredholm}sche Methode herangezogen wird, die die Lösungen als meromorphe Funktionen der \(U\) ausweist (auf die zur Berechnung des \textit{Fredholm}schen Nenners nötigen Rechnungen wird zum Schluß der ganzen Arbeit ausführlich eingegangen). In den Anwendungen werden \(G\), \(K\) ganze, die Lösungen meromorphe Funktionen der \(U\) und außerdem gewisser Parameter \(\lambda_j^{(k)}\), die Linearformen der Werte \(\log\omega_\nu\) mit in den \(\omega_\nu\) rationalen Koeffizienten sind (\(\omega_\nu\) die Eigenwerte der zu einem singulären Punkt gehörigen Umlaufsmatrix). Dieses überträgt sich dann sinngemäß auf die Koeffizientenmatrizen \(W_j^{(r)}\) des elementaren Systems, das zu \(a_j\) gehört. IX. (Die verschiedenen Bestimmungen einer regulären Matrix, die an den endlichen singulären Punkten vorgegebene Exponentenmatrizen besitzt) entspricht der Arbeit [Les déterminations diverses d'une matrice régulière possédant les substitutions exposantes données aux points singuliers à distance finie, Bull. Acad. Sci. URSS, Cl. Sci. Math. Nat. 1931, 733--748 (1931; JFM 57.1456.01)]. Hinzugefügt wurde ein Abschnitt, der den Fall behandelt, daß die Polynome der Übergangsmatrix \(X\) zwischen zwei Lösungen vom zweiten Grade sein dürfen, sowie ein Beispiel (\textit{Smirnoff}), in dem nachweisbar kein \(X\) aus Polynomen ersten Grades vorhanden ist. In X (Das Riemannsche Problem für das Gaußsche System) werden durch spezielle Rechnungen die Koeffizienten in \(Y'= Y\bigg(\dfrac{U_1}{z-a_1}+\dfrac{U_2}{z-a_2}\bigg)\) ausgegebenen Exponentenmatrizen bestimmt. Untersuchung der Verzweigung der Lösungen sowie der Mehrdeutigkeit vermöge IX. XI (Algorithmische Lösung des Riemannschen Problems für die Nachbarschaft der Einheitsmatrix): In IV (JFM 61.1223.04) war das \textit{Riemann}sche Problem für den Fall gegebener Exponentenmatrizen (in der Nähe der Nullmatrix) behandelt worden; jetzt wird entsprechend unmittelbar von den Umlaufsmatrizen ausgegangen und werden Hilfsmittel zur Berechnung der nunmehr entstehenden Reihenentwicklungen angegeben (``Hyperlogarithmen zweiter Art``). XII (Ergänzungen zur Theorie der regulären Systeme) enthält die Betrachtung von Integralmatrizen und Übergangssubstitutionen in Abhängigkeit von den singulären Punkten, insbesondere für das \textit{Gauß}sche System. Partielle Differentialsysteme. XIII (Entwicklung nach Potenzen eines Parameters): Es handelt sich in der Hauptsache um das zweiseitige System \[ \dfrac{dT}{dx}=\lambda(TA-AT) + \dfrac1x (TR-RT), \] worin \(A = \sum\limits_{\nu=-\infty}^{+\infty} A_\nu x^\nu\) \((0 < |x| < \varrho)\) und \(\lambda\) und die Matrix \(R\) als Parameter hinlänglich kleinen Betrages betrachtet werden. Reihenentwicklung nach Potenzen von \(\lambda\) für die Lösung, die sich für \(\lambda = 0\) auf die gegebene Matrixfunktion \(f(R)\) reduziert. Anwendung auf die Bestimmung der Umlaufsmatrix in Abhängigkeit vom Normierungspunkt für ein Differentialsystem im gewöhnlichen Sinne mit Unbestimmtheitsstelle.