Sulle coordinate isoterme e sui campi di forza Newtoniani. (Q2609638)

Versteht man unter \(\varrho _i\) \((i=1, 2, 3)\) isotherme Koordinaten (div grad \(\varrho _i=0\)) und unter \(k_i\) eine von \(\varrho _i\) unabhängige Funktion, so haben die Differentialparameter \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill h_i^2=\;\text{grad}\;\varrho _i\times\;\text{grad}\;\varrho_i \hfill} \] die Form \[ h_1^2=\frac{1}{k_2k_3},\quad h_2^2=\frac{1}{k_3k_1},\quad h_3^2=\frac{1}{k_1k_2}. \] Wenn ferner die Funktionen \(f_i(\varrho _i)\) der Beziehung \[ h_1^2f_1+h_2^2f_2+h_3^2f_3=0 \] bzw. gemäß (1) der Beziehung \[ L\equiv \textstyle \sum k_if_i=0 \] und die Funktionen \(F_i(\varrho _i)\) den Differentialgleichungen \[ \frac{d^2\,F_i}{d\varrho _i^2}=f_i(\varrho _i)\cdot F_i \] genügen, stellt bekanntlich das Produkt \(F_1(\varrho _1)\cdot F_2(\varrho _2)\cdot F_3(\varrho _3)\) eine harmonische Funktion dar. Verf. gelangt durch das Studium der in speziellen Fällen bekannten Ausdrücke der Funktionen \(k_i\), und \(f_{i}\) zu der Einsicht, daß die \(k_i\) und \(f_{i}\) sich im wesentlichen auf die folgenden beiden Typen zurückführen lassen, wobei \(\psi _i\) allein von \(\varrho _i\) abhängige (sich möglicherweise auf eine Konstante reduzierende) Funktionen und \(A\) und \(B\) willkürliche Konstanten bedeuten: \[ \begin{aligned} &\begin{cases} k_1=\psi _3-\psi _2,\;\;k_2=\psi _1-\psi _3,\;\;k_3=\psi _2-\psi _1;\\ f_1=A\psi _1+B,\;\;f_2=A\psi _2+B,\;f_3=A\psi _3+B.\end{cases} \tag{"}\qquad\!I"\\ &\begin{cases} k_1=\psi _3,\qquad\quad k_2=-\psi _3,\qquad k_3=\psi _2-\psi _1;\\ f_1=A\psi _1+B,\;\,f_2=A\psi _2+B,\;f_3=A\psi _3.\end{cases} \tag{"}\qquad\!II" \end{aligned} \] Diese Überlegungen dienen dazu, um im zweiten Teil des Aufsatzes in einfacher Weise die Gleichungen der Kraftlinien, die dem Potential \(V = F_1F_2F_3\) entsprechen, zu bestimmen. Anschließend werden die Ergebnisse auf konkrete Beispiele, die physikalisch bedeutungsvoll sind, angewandt.