Sulle singolarità isolate delle soluzioni della equazione delle onde. (Q2609706)

Es handelt sich um eine tiefgehende Untersuchung über die isolierte Singularität der Lösungen der dreidimensionalen Wellenfortpflanzungsgleichung: \[ \dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} +\dfrac{\partial^2f}{\partial z^2}-\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2} =0, \tag{1} \] worüber bis jetzt so gut wie nichts bekannt war. Diese Untersuchung, die auch vom Standpunkt der Anwendung ein großes Interesse hat, da die \textit{von einem Zentrum ausgehenden} elastischen Wellen (z. B. seismischen Wellen) offensichtlich erfaßt werden, wird vom Verf. durchgeführt, indem er -- unter passenden, qualitativen Vorbedingungen -- die allgemeinste Lösung der Gleichung (1) bestimmt, welche in einem einzigen gegebenen Punkt (dem Ursprung) nicht regulär ist. Sie kann durch die Reihe \[ f=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{h=1}^{2n+1}\sum_{i=0}^{n} \lambda_{n,i} \dfrac{\varPsi_{n,h}^{(i)}(t-r)}{r^{n-i+1}} P_{n,h}(\theta,\varphi) \tag{*} \] dargestellt werden, wo \(r\), \(\theta\), \(\varphi\) die drei Raum-Polarkoordinaten, \(P_{n,h}\) \((h = 1, 2,\ldots, 2n + 1)\) die \(2n + 1\) sphärischen Funktionen der Ordnung \(n\), \(\lambda_{n,i}\) gewisse, durch eine rekurrente Beziehung definierte, konstante Koeffizienten, \(\varPsi_{n,h}^{(i)}\) die \(i\)-malige Ableitung \((i = 1, 2,\ldots, n)\) der \textit{fast-willkürlichen} Funktion \(\varPsi_{n,h}\) bedeuten. Die Funktionen \(\varPsi_{n, h}\) -- welche einigermaßen den Erregungszustand des Erschütterungszentrums charakterisieren -- sind \textit{fast-wülkürlich}, d. h. sie müssen nur folgende Bedingungen befriedigen: (1) wenigstens \((n + 2)\)-mal differenzierbar zu sein; (2) außerhalb eines festgesetzten Grundintervalls \((0, T)\) zusammen mit ihren ersten \(n + 1\) Ableitungen zu verschwinden. Von den vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten der Formel (*) seien hier nur die wichtigen Anwendungen in der Seismologie erwähnt, worüber unterdessen schon eine andere Arbeit des Verf. (Atti Accad. Sci. Torino, Cl. I, 71 (1936), 299-309; JFM 62.0965.*) erschienen ist.