Differenzengeometrisches zur Krümmung einer Raumkurve. (Q2609813)

\textit{K. T. Vahlen} hat (Mh. Math. Phys. 38 (1931), 373-376; JFM 57.0859.*) die Differenzengeometrie erklärt: ``Diejenigen Sätze der endlichen Geometrie, aus denen durch Grenzübergang Sätze der Differentialgeometrie hervorgehen, bilden die Differenzen\-geometrie''. Im Sinne dieser Definition hat Verf. etwa gleichzeitig (Math. Z. 33 (1931), 796-800; JFM 57.0859.*) den Krümmungsradius einer ebenen Kurve differenzen\-geometrisch hergeleitet. Hier behandelt Verf. die entsprechende Aufgabe für den Krümmungsradius und den Krümmungsmittelpunkt einer Raumkurve: Ist \(\mathfrak x = \mathfrak x (t)\) eine im Sinne wachsender \(t\) durchlaufene Raumkurve, sind \(\mathfrak x_\varkappa = \mathfrak x (t_\varkappa )\) (\(\varkappa =1,2,3\)) drei Punkte dieser Kurve, und wird \[ \frac {\mathfrak x_\varkappa -\mathfrak x_\lambda }{t_\varkappa -t_\lambda } = \mathfrak x_{\varkappa\lambda }\;\;(\varkappa,\lambda =1,2,3),\qquad 2\frac {\mathfrak x_{23} -\mathfrak x_{12}}{t_3 -t_1} = \mathfrak x_{123} \] gesetzt, so ergeben sich für den Radius \(r\) des Umkreises dieses Dreiecks und für den zum Mittelpunkt dieses Kreises führenden Ortsvektor die Formeln: \[ r=\frac {t_3-t_1}{2}\,\frac { |\mathfrak x_{12}|\,|\mathfrak x_{23}|\,|\mathfrak x_{13}|} {|\mathfrak x_{12}\times \mathfrak x_{23}|},\;\;\mathfrak m = \frac {\mathfrak x_1+\mathfrak x_3}{2}+ \mathfrak x_{12} \cdot \mathfrak x_{23}\, \frac {(\mathfrak x_{12}\times \mathfrak x_{123})\,\times \mathfrak x_{13}} {(\mathfrak x_{12}\times \mathfrak x_{123})^2}. \] Aus diesen ergeben sich in der Tat durch Grenzübergang die differentialgeometrischen Formeln.