Bemerkungen zur Differentialgeometrie der konvexen Flächen. III: Über die Gaußsche Krümmung. (Q2609906)

Für Teil I und II vgl. Mat. Tidsskr. B, København, 1935, 25-36, 87-114; F. d. M. 61\(_{\text{II}}\). Die Verf. ``gehen von folgendem Sachverhalt aus: Auf jedem konvexen Flächenstück \(\varPhi\) gibt es drei Nullmengen \(\varLambda\subset\varLambda'\subset\varLambda''\) derart, daß in den Punkten von \(\varPhi-\varLambda\) die Fläche überall eine Tangentialebene besitzt; in den Punkten von \(\varPhi-\varLambda'\) existiert eine Indicatrix (d. h. die Normalschnitte haben einseitige Krümmungen); in jedem Punkt \(P\) von \(\varPhi-\varLambda''\) ist die Indicatrix eine Ellipse mit \(P\) als Mittelpunkt oder ein zu \(P\) symmetrisch liegendes Paar paralleler Geraden''. Zu jeder Menge \(\varOmega\subset\varPhi\) läßt sich das sphärische Bild \(\varOmega^*\) definieren, zu jedem Punkt \(P\) von \(\varPhi-\varLambda\) die \textit{Gauß}sche Krümmung \[ K (P) = \lim\limits_{h\to0} \dfrac{|\varOmega_h^*|}{|\varOmega_h|}. \] Dabei ist \(\varOmega_h\) die von einer zur Tangentaliebene parallelen Ebene im Abstand \(h\) ausgeschnittene Flächenkappe, \(|\varOmega_h|\) ihr \textit{Lebesgue}sches Maß. Untersucht wird die Existenz und der Wert der \textit{Gauß}schen Krümmung in den Punkten von \(\varPhi-\varLambda'\).