Integralgeometrie. XVII: Über Kinematik. (Q2609927)

Sei \(F_1\) eine feste, \(F_2\) eine bewegliche Fläche des euklidischen \(R_3\), beide seien stetig gekrümmt und beschränkt. \(\dot F_2\) sei die kinematische Dichte eines mit \(F_2\) verbundenen Achsenkreuzes, \(l\) ein Linienelement der Schnittkurve von \(F_1\) und \(F_2\), weiter \(\dot L_1\) die Dichte dieses Linienelementes auf \(F_1\), \(\dot L_2\) die auf \(F_2\), \(\dot s\) das Bogenelement der Schnittkurve, \(\sigma\) der Winkel der beiden Flächennormalen in \(l\). Dann gilt die Grundformel \[ \dot F_2\dot s = \sin^2\sigma\cdot \dot L_1\dot L_2\dot\sigma \] (vgl. für die Bezeichnung \textit{W. Blaschke}, Vorlesungen über Integralgeometrie I (1936; JFM 61.0761.*-762), und frühere Arbeiten der Reihe). Daraus ergeben sich verschiedene Integralformeln; ist \(L\) die Länge der Schnittkurve von \(F_1\) und \(F_2\), so gilt z. B. \[ \int L\dot F_2 = 2\pi^3 A_1A_2. \] Hier ist \(A_i\) der Flächeninhalt von \(F_i\). Wenn \(s= \frac12\int\sigma\cdot\dot s\) (längs der Schnittkurve integriert), so gilt \[ \int S\dot F_2 =\dfrac{\pi^4}2 A_1 A_2. \] Sind \(\mathfrak G_1\) und \(\mathfrak G_2\) zwei beschränkte Gebiete, die von endlich vielen stetig gekrümmten Flächenstücken begrenzt werden, und ist \(M(\mathfrak G_1\mathfrak G_2)\) das Integral der mittleren Krümmung des Durchschnitts von \(\mathfrak G_1\) und \(\mathfrak G_2\) (wobei an der Schnittkurve der Beitrag \(S\) ist), so gilt \[ \int M(\mathfrak G_1\mathfrak G_2) \dot\mathfrak G_2 = 8\pi^2\bigg\{M_1V_2+\dfrac{\pi^2}{16}A_1A_2+V_1M_2\bigg\}. \] Hier ist \(V_i\) das Volumen von \(\mathfrak G_i\), \(M_i\) das Integral der mittleren Krümmung. Integriert man über die Gesamtkrümmung des Durchschnitts, so ergibt sich \[ \int C(\mathfrak G_1\mathfrak G_2) \dot\mathfrak G_2 = 8\pi^2\{C_1V_2+A_1M_2+M_1A_2+V_1C_2\} \] (``Kinematische Hauptformel'', \(C_i\) ist die Gesamtkrümmung von \(\mathfrak G_i\), hängt also mit dem Geschlecht der Begrenzungsfläche zusammen).