On certain periodic sequences of Laplace of period four in ordinary space. (Q2609969)

Ist (\(u, v\)) ein konjugiertes Kurvennetz der Fläche (\(N_1\)) und sind (\(N_3\)), (\(N_4\)) die nach \textit{Laplace} transformierten Flächen in bezug auf \(u\) bzw. \(v\), ist ferner (\(N_2\)) sowohl die \textit{Laplace}-Transformierte von (\(N_3\)) als auch von (\(N_4\)), dann bilden (\(N_1\)), (\(N_2\)), (\(N_3\)), (\(N_4\)) eine \textit{Laplace}sche Folge der Periode 4. Verf. untersucht eine solche Folge, die de\textit{r} Bedingung genügt, daß die Diagonalen \(N_1N_2\) und \(N_3N_4\) ein Paar stratifizierbarer Kongruenzen bilden. Zu jedem Paar solcher Diagonal-Kongruenzen gibt es \(\infty^1\) \textit{Laplace}-Folgen der Periode 4, deren Flächen paarweise zu den beiden Scharen (\(X_\lambda\)), (\(W_\mu\)) stratifizierender Flächen der Diagonal-Kongruenzen gehören. -- Gibt es umgekehrt zwei \textit{Laplace}sche Folgen der Periode 4 mit gemeinsamen Diagonal-Kongruenzen, so gibt es sogar \(\infty^1\), und die Diagonal-Kongruenzen sind stratifizierbar. Von den zahlreichen Ergebnissen, zu denen Verf. gelangt, seien einige aufgezählt: Die Diagonal-Kongruenzen sind linear; die Kongruenzen der \textit{Laplace}schen Folgen sind stets vier Kongruenzen von \textit{Wilczynski}; die Flächen der Schar (\(X_\lambda\)), ebenso die der Schar (\(W_\mu\)) sind projektiv ineinander deformierbar; konstruiert man in entsprechenden Punkten der Flächen der Schar (\(X_\lambda\)) die Tangenten an die Kurven \(u\) oder \(v\) oder an die Asymptotenlinien \(\alpha\), \(\beta\), so erhält man vier Reguli \(Q_u\), \(Q_v\), \(Q_\alpha\), \(Q_\beta\). Diese bilden vier Systeme von \(\infty^2\) Flächen zweiten Grades; alle diese \(F_2\) haben zwei windschiefe Geraden gemeinsam, die zugleich Leitgeraden der beiden Diagonal-Kongruenzen sind. -- Entsprechendes gilt für die Scharen (\(W_\mu\)). -- Ferner beweist Verf. folgenden Satz: Bilden die Kurven \(u\), \(v\) ein konjugiertes Netz einer Fläche (\(N_1\)) derart, daß die Schnittgeraden der Schmiegebenen von \(u\), \(v\) eine lineare, nicht-parabolische Kongruenz erzeugen, dann gehört die entsprechende \textit{Laplace}-Folge zu der hier betrachteten Klasse.